A Shavgulidze-rejtély

 

     1.  Bizonyára sokan hallottak már kedves Olvasóink közül a Banach-Tarski paradoxonról. Valójában egy tételről van szó, ami azt mondja ki, hogy egy egység sugarú gömb felbontható véges sok részre, oly módon, hogy a részekből két darab egység sugarú gömb rakható össze. Hogy a térfogat nő? Azt nem mondta senki, hogy a darabok Lebesgue-mérhetőek :)))

     2. Ugyanakkor az egység sugarú körlap nem bontható fel véges sok részre, oly módon, hogy a részekből két darab egység sugarú körlap rakható össze.

     3. Mi az a különbség a 2- és a 3-dimenziós tér között, ami miatt a Banach-Tarski felbontás működik a térben, de nem működik a síkon?  Már Hausdorff is észrevette, hogy a tér mozgáscsoportja tartalmazza a két elem által generált szabadcsoportot. A sík mozgáscsoportja nem, ugyanis az feloldható.

     4. Neumann János volt az első, aki a csoportokat a Banach-Tarski paradoxon szellemében kezdte osztályozni. Észrevette, hogy bizonyos, kellemes szerkezetű csoportok, mint például az egészek csoportja rendelkeznek a következő tulajdonsággal: van rajtuk invariáns „integrál”. Azaz, a csoporton értelmezett korlátos függvények terén van egy olyan additív valós függvény, amelyik invariáns az eltolásra ÉS 1 a konstans egy függvényen. Azt is észrevette, hogy a két vagy több elem által generált szabadcsoporton ilyen invariáns függvény nem létezik.

    5. Egy Folner nevű dán matematikus a második világháború alatt geometriailag is leírta azokat a csoportokat, amelyeken van invariáns közép, és ezeket később Mahlon Day nyomán amenábilis csoportoknak nevezték el. Egy végesen generált csoport akkor és csak akkor amenábilis, ha a Cayley-gráfjának (a definíció nem függ a generátoroktól) vannak olyan részhalmazai, amelyeknek a szélén egyre kevesebb pont van, mint a belsejében. A síkrácson (az egész számok párjainak Cayley-gráfján) a nagy négyzetek pl. ilyenek.

   6.  Neumann Jánosnak tulajdonítják (valószínűleg tévesen) azt a kérdést, hogy az amenabilitás vajon ekvivalens-e azzal, hogy a csoport tartalmaz két elem által generált szabad részcsoportot. A válasz mindenesetre nem, Olshanszkij konstruált nem-amenábilis torziócsoportokat.

   7.  Thompson vagy negyven éve konstruált egy érdekes csoportot. Ez a csoport az egységintervallum szakaszonként lineáris irányítástartó bijekcióiból áll, amelyek függvényeinek töréspontja diadikus és minden iránytangense 2-hatvány.

   8.  Thompson csoportja egyrészt nem tartalmazott szabad részcsoportot, másrészt nem volt elemi amenábilis sem (azaz nem volt semmiféle egyszerű algebrai oka az amenabilitásának). Ez a csoport sok tekintetben úgy viselkedett, mintha amenábilis lenne, de amenabilitását senki sem tudta bizonyítani.

   9.   Rengeteg ember próbálta bebizonyítani, hogy a Thompson-csoport nem amenábilis (vagy esetleg mégis igen), de senkinek sem sikerült. Ez a kérdés a geometrikus csoportelmélet nagy és idegesítő kérdésévé nőtte ki magát. Thompson csoportja elkezdett játszani a matematikusokkal. Ha kitaláltak egy olyan új invariánst, amely egy bizonyos t konstanstól kezdve bizonyította egy csoport nem-amenabilitását, biztosak lehettünk benne, hogy a Thompson-csoportra ez az invariáns pontosan t volt.

  10. Májusban egy Jevgenyij Tengizovics Shavgulidze nevű moszkvai matematikus feltett az internetre egy bizonyítást, amelyben azt állította, hogy bebizonyította: a Thompson-csoport amenábilis. (Pár hónappal korábban ugyanarra az archívumra egy Akhmedov nevű, Amerikában élő azeri matematikus viszont annak az állítólagos bizonyítását tette fel, hogy a Thompson-csoport nem amenábilis.)

  11. Amerikai csoportelmélészek több csoportja próbálja megtalálni a hibát Shavgulidze bizonyításában. A mai napon feltették az első, harminc oldalas elemzésüket a netre. Egyelőre nem találtak hibát.

 http://www.math-arch.org/node/216

 Ez itt Shavgulidze bizonyítása. Ha jó, akkor a geometriai csoportelmélet elmúlt húsz évének legnagyobb eredménye. Nem, nem kínál megoldást sem a globális felmelegedés leállítására, sem a rák gyógyítására. A világbékét sem hozza el. Egy lépés lenne, fel, valahová, az ismeretlenbe.

<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16516682-6a5740bf7a64d' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16516682&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16516682-6a5740bf7a64d&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16516682-6a5740bf7a64d' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>