Huszonkilenc avagy a matematika reménytelenségéről (személyesposzt)
A poszt a matematika reménytelenségéről szól, nem a matematikáról (és főleg nem a kvantummechanikáról). A használt fogalmakat csak matematikusok és elméleti fizikusok érthetik meg, ha egyáltalán. De ezekre a fogalmakra a világon semmi szükség sincs a posztban, a történet részei, az Oppenheimer filmben is csak a történet részét képzi pár krétával felírt formula a táblán. A poszt nem a formulákról szól, nem azokról a gondolatokról, amelyek a formulákhoz vezetnek, hanem a reménytelenségről. Amely reménytelenség még mindig a legjobb reménytelenségek közé tartozik a világon.
Neumann János 1932-ben, huszonkilenc évesen, adta ki Grundlahren der Quantenmechanik című könyvét, ami a kvantummechanika elméletének első matematikai megalapozása. Ebben a könyvben végtelen dimenziós Hilbert-terek korlátos operátorairól van szó, amely operátorok általában nem képzik délelőtti matinék tárgyát. Neumann és Marshall Stone egymástól függetlenül vették észre, hogy a kvantummechanika heisenbergi és schrődingeri képe valójában ugyanaz, ez volt Neumann egyik legnagyobb kontribúciója az elméleti matematikában. Oppenheimer, ahogy a filmben is elhangzik Cillian Murphy szájából, nem szerette a matematikát. Használta, nagyon jól használta, de nem szerette. A világ nem tűnik végtelen dimenziósnak, az a tény, hogy végtelen dimenziós Hilbert-tereken reprezentálják a kvantummechanika megfigyelhető entitásait egy technikai ügy, valahogy alkalmasak ezek a terek arra, hogy használják őket a kvantummechanika matematikai formalizációjában.
Irving Segal 1947-ben, huszonkilenc évesen írta meg a Postulates for General Quantummechanics című művét. Az Olvasó nyilván megkérdezi, hogy mit csinált Oppenheimer huszonkilenc évesen, elég sok mindent. Már huszonhét évesen is publikált olyan cikket, ami alapvető jelentőségű a modern fizikában. Segal is megalapozta huszonkilenc évesen a kvantummechanka matematikai elméletét, akár von Neumann, de cikkében a Hilbert tereknek már kisebb a jelentősége, egy teljesen általános algebrák elméletét írta le, amely algebrák persze reprezentálhatók Hilbert tereken. Ezeket az algebrákat nevezik ma C*-algebráknak, és bizonyos elemek ezen algebrákban a megfigyelhető entitások szerepét játsszák. Nagy vonalakban végtelen mátrixok. Ja, nagy vonalakban.
Az Olvasó, aki látta az Oppenheimer fimet, esetleg azt kérdezi, hogy közben mégis mit csináltak közben a szovjetek. Hát Gelfand (technically speaking huszonkilenc éves volt) és Naimark már korábban definiálta ezeket a C*-algebrákat, csak kissé más formában.
Valójában von Neumann W*-algebrái, amelyeket ma von Neumann-algebráknak neveznek is speciális C*-algebrák.
1950 környékén a C*-algebráknak már volt valamennyi elmélete, de az még ezer szállal kötődött a kvantummechanikához.
Aztán a C*-algebrák egyre inkább önálló életre keltek. Gelfand és Segal algebrái még láttak valamiféle alakzatot, valóságos teret, amin ezek az algebrák éltek, de a területbe beleszerelmesedett matematikusok érdeklődése egyre inkább olyan algebrák felé fordult, amelyek nem kötődnek alakzatokhoz. És most kezdődik a reménytelenség.
A zárt felületek, mint a gömb, a tórusz, és magasabb dimenziós rokonaik elmélete, az algebrai topológia, sem elérhető a matematikán kívül. Mindenki el tud képzelni egy gömböt, kisebb nehézségek árán, aránylag sokan el tudnak képzelni egy magasabb dimenziós gömböt, de az algebrai topológia által tanulmányozott invariánsok a homológia és kohomológia csoportok már a matematikusok jelentős része számára is inkább valamiféle dallamot jelentenek. Neumann, Gelfand és Segal utódai, akik már nem érdeklődtek a kvantummechanika iránt, a C*-algebráikat valamiféle különös absztrakt alakzatokként (nemkommutatív terek) képzelték el, amelyeknek topológiai jellegű invariánsaik vannak. Nem egészen a homológiák és kohomológiák, hanem a vektornyalábok leírásánál használt K-elmélet invariánsai.
A C*-algebra ekkor veszítette el a topológusokat és a von Neumann-algebristákat. Minél inkább látták a lényeget, minél mélyebbre hatoltak a területek megértésében, minél szebb lett az elméletük, annál inkább igaz volt, hogy egy életet kell rááldozni arra, hogy a jó látásmódot kialakítsa az ember. 1980-ban egy Gennagyij Kaszparov nevű szovjet matematikus kidolgozta az ún. KK-elméletet, a K-elmélet egyik különös kiterjesztését, aminek már nem is igazán létezett analógiája a hagyományos terekben. Nagyon fiatal voltam, azt hiszem pont huszonkilenc éves, amikor születésnapomra megkaptam Bruce Blackadar K-theory for operator algebras című könyvét, amelyből nagy vonalakban két dolgot értettem meg. 1. a C*-algebrák K-elméletének alapjait, de tényleg csak az alapokat. 2. Azt, hogy én a KK-elméletet a büdös életben nem fogom megérteni. A környezetemben, doktorandusz voltam Amerikában, volt egy-két ember, aki értette a KK-elméletet, ezeket nagyon irigyeltem ezért, aztán ez is alább hagyott, lassan én is eltávolodtam a C*-algebráktól.
1976-ban egy George Elliott nevű matematikus, milyen jó lett volna ha huszonkilenc éves, de már harmincegy volt, észrevette, hogy bizonyos bonyolultabb C*-algebrák, amelyek felépítése erősen rímelt von Neumann egyik kedvenc konstrukciójára, szóval ezek az algebrák valahogy teljes mértékben felismerhetők a topológiai jellegű invariánsokból és ez vezetett el az Elliott-féle programhoz, ami klasszifikálni próbálta ezeket a topológiailag azonosítható algebrákat.
Ezt a programot igazán csak azok a C*-algebristák értették meg, akik K- vagy KK-elméleti megközelítést alkalmaztak, azok azonban nagyon. Mindazonáltal, azért az igaz, hogy az Elliott-program vált a C*-algebrák elméletének centrumává, és egyben a matematikai analízis egyik legizgalmasabb problémájává. Miközben a probléma kimondása is teljesen reménytelen volt azok számára, akik nem voltak specialisták.
Az elméletből hiányzott valami, amit már tízezer éve ismertek az emberek, de a klasszikus görög matematika ismerte meg igazán: a kör. Nem volt igazán körszerű algebra, egészen 1999-ig, amikor is két kínai posztdok megkonstruálta a Z-algebrát (amit azért néha Jiang-Su algebrának neveznek).
Az események felgyorsultak. Először kiderült, hogy Elliott sejtését ki kell kicsit polírozni, és akkor teljesen pontosan is megfogalmazható, ehhez azonban szükség volt egy technikai fogalomra a véges nukleáris dimenzió fogalmára. Rájöttek arra, hogy ez a fogalom valahogy erősen kötődik Jiang és Su algebrájához.
2017-ben derült ki, hogy Elliotnak igaza volt, de akkor már a tétel úgy hangzott, hogy egyszerű, szeparábilis, nukleáris algebrák, amire igaz az UCT-feltétel és véges a nukleáris dimenziójuk klasszifikálhatók a topológiai jellegű Elliott-invariánsokkal. A kedves Olvasó nagyon jól látja, némileg eltávolodtak az 1947-es (tehát csak hetvenéves) történettől.
Pár évvel később kiderült, hogy a véges nukleáris dimenzió helyére a Z-stabilitás írható, ami rengeteg új, konkrét algebra esetében mutatta ki, hogy klasszifikálható.
Az igazság néha reménytelen. Az igazság elég gyakran reménytelen. Az igazság szinte mindig reménytelen?
Vajon mit jelent George Elliott igazsága a post-truth korszak tízsoros hazugságainak világában, lesz több kenyér attól, hogy klasszifikálhatóak azok az algebrák (tudják, hogy mennyi mindentől nem lesz több kenyér?), gyorsabban lehet mobilozni, okosabb lesz tőle a GPT? Nem.
Mégis, az pár tucat, talán összesen száz ember, akinek az élete erről szólt, valami nagyon alapvetőt értett meg a világból, talán Térről és Időről (elég konkrétan térről és időről) . Megértettek valami reménytelent.
Typo. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Springer-Verlag, Berlin, 1932).
Ja, és persze Neumann könyvében azért van szó nemkorlátos operátorokról is, hiszen a szabad részecske hely-, impulzus- és Hamilton-operátora is ilyen. Ha jól értem, akkor a II.9. szakasz elég általánosan vizsgálja a nemkorlátos Hermitikus operátorok spektrális felbontását (Cayley transzformációval unitér operátort konstruál belőlük).
Azt hogy érted, hogy “térről és időről” értettek meg valamit? Nem valamiféle absztrakt terekről, aminek akkor lenne bármi köze a fizikai térhez és időhöz, hogyha egy olyan fizikai elméletben nyernének alkalmazást, ami leírja a teret és az időt (pl. a kvantumgravitáció, ha az konzisztens módon definiálható lenne). Ugyanakkor a C*-algebráknak rengeteg alkalmazása van a kvantummechanikában és a kvantum statisztikus fizikában, de a kvantumtérelméleti alkalmazások azért leginkább rácsmodellek és szabad térelméletek, és nagyon nem a kvantumgravitáció (sőt, még csak kvantum-elektrodinamika sem).
bálömböki bag u fan
bálömbökö big a fún
búlámbákö bög i fan
balúmbaká bög ö fin
bilámbúka bág ö fön
bölimbakú bag á fön
bölömbika búg a fán
van remény.
Hát, te egy nagyon bonyolult lélek vagy. A renénytelenség szerintem teljesen nyílvánvaló matematika nélkúl is.
Így megy ez.
“Oppenheimer […] nem szerette a matematikát. Használta, nagyon jól használta, de nem szerette.” Ezt érdekesnek találom. Valamiért naívan azt hittem ezidáig, hogy aki olyan szinten űzi a matematikát, mint ami szükséges ahhoz, hogy olyan fizikát csináljon, amit Oppenheimer csinált, akkor az szükségszerűen szereti is. De ezek szerint, ha jól értem, Oppenheimer számára az egyébként elég magas és szép matematika tényleg csak eszköz volt, mint mondjuk egy kőművesnek a spakli, és őt tulajdonképpen a ház izgatta, amit épít, nem a spakli mibenléte?
@steinrzsiga Ugye, Einsteint az újságírók világnagy matematikusnak tartják. Hát az épp nem volt, de.
@nyulambator: https://konyvtar.dia.hu/html/muvek/TANDORI/tandori00064/tandori00093/tandori00093.html
@jotunder Lehet, hogy reménytelen (mi nem az?), de nekem bölcsész létemre igencsak tetszett, köszönöm.
@janostothmeister: Fordítva, nem? Azt mondták róla, hogy megbukott matekból. Legalábbis úgy rémlik diákkoromban ez volt a monda.
@Thalész:
Mondták, de nem volt igaz. Matekból speciel kifejezetten jó volt diákkorában, és amikor mutattak neki egy cikket, miszerint megbukott, akkor mondta is, hogy nem így volt, az osztálytársai előtt járt, és 15 éves korára már a differenciál- és integrálszámítást is ismerte. Az igaz, hogy fizikusként nem hozott létre új matematikát, a meglevőt alkalmazta.
@steinerzsiga:
Szerintem fizikában egyáltalán nem ritka, akinek a matematika nem önmagában érdekes, hanem szerszám, mint másnak a kombináltfogó. Extrém esetben még rossz véleménye is van egyeseknek a szerinte túlzott absztrakciótól, és az alkalmazástól túlzottan eltávolodó matematikáról. A spektrum másik végén pedig van, aki kifejezetten élvezi a matematikát, értékeli a szépségét, sőt, vannak azok a fizikusok, akik a matematikában is újat alkotnak [pl. Dirac “delta függvénye” hozzájárult a (később Mikusinski és Laurent Schwartz által felépített) disztribúcióelmélet elindításához, Thirring iskolája sok mindent bizonyított a kvantummechanikában alkalmazott operátorelméletben, Penrose és Hawking a differenciálgeometriában alkottak módszereket, Freeman Dyson pl. kvantummechanikai módszereket alkalmazott a Riemann hipotézissel kapcsolatban, Elliott Lieb komoly tételeket bizonyított, hogy megmutassa, hogy a kvantummechanika megjósolja a (pozitív és negatív töltésekből álló) anyag stabilitását].
@szazharminchet: az Oppenheimer filmben egy szó nem volt a japánok kutatásairól. pedig…volt nekik is tervük, és volt Oppenheimer szintű fizikusuk, Yukawa. a háború után a japánok nagyon komolyan foglalkoztak operátoralgebrákkal, Araki és Takesaki abszolút alapvető dolgokat csináltak, pl. Takesaki találta ki a nukleáris algebrákat. de amennyire én amatőr szemmel látom, ott még volt valamennyi fizikai szemlélet, ami valamikor a hetvenes évek elejét tűnt el. ma van egy saját közösségük, saját nyelvük, saját intuíciós struktúrájuk, ezt kívülről nem lehet megérteni, és tényleg semmi nem maradt meg a fizikából.
@jotunder:
Nem is egy jó fizikusuk volt. Yukawa (magerők) mellett ott volt pl. Tomonaga (kvantum-elektrodinamika, Nobel-díj Feynmannal és Schwinger-rel megosztva). Viszont Heisenberg fizikában legalább egy súlycsoporttal volt Oppenheimer fölött, és mégsem jutott messzire a bombakészítés terén. Nem biztos, hogy az a jó szervező, aki jó fizikus.
A másikhoz: szerintem az algebrai kvantumtérelmélet (Haag, Araki) még egész szemléletesen teszi precízzé az olyan dolgokat, mint az adott téridőtartományhoz rendelt operátorok (a keltő- és eltűntető operátorok “szétkentjeivel” definiált operátorok), a kauzalitás, stb. Csak nagyon nehéz nem szabad elméletekre kiterjeszteni (ellenben a nem szigorú, de operatíve számolható perturbációs sorokkal).
Köszönet ezért a posztért. Emlékszem, kis elsôs doktoris koromban valahogy azt gondoltam, hogy ugyan az én kutatási területem nem az amenábilis C*-algebrák klasszifikációja, de azért elég közel áll hozzá, hogy képben maradjak és tudjam követni a fejleményeket. Na, ez pont addig tartott, míg elôkerült a KK-elméletes nehéztüzérség, és akkor azonnal leesett, hogy vagy csak ezt tanulom-kutatom 100%-ban, vagy maximum lelkes de abszolút dilettáns szemlélôként a pálya szélérôl követem az eseményeket. Az utóbbi lett 🙂
Amúgy az MIP*=RE problàma megoldásánál azt éreztem, hogy a computer science mellett ebben van egy szép nagy adag kvantummechanikai szemlélet (plusz ugye by-the-way megoldotta az egyik legkomolyabb operátoralgebrás sejtést is), ezért Neumann Jánosnak valószínûleg tetszenének a fejlemények.
@jotunder:
Igazából én azt akartam megkérdezni, hogy amikor azt írod, hogy a “térről és az időről” értettek meg valami fontosat, az igazából nem tér és idő, hanem valamiféle absztrakt terek, azaz, ennek azért még nincs semmi fizikai, pláne kvantumgravitációs, alkalmazása.
@szazharminchet: lehet, hogy nincs semmiféle alkalmazása, de attól én még így gondolom, miután kétségbeesett kísérleteket tettem, hogy megértsem, hogy nagy vonalakban miről van szó. ez már rég nem fizika. hogy több vagy kevesebb, az szemlélet kérdése.
@jotunder:
OK, köszi. Akkor számomra inkább absztrakt terekről szól, nem térről és időről, mert az utóbbiak fizikai fogalmak, azokról matematika akkor szól, ha alkalmazod, valami olyan elméletre, aminek köze van térhez és időhöz (klasszikusan az általános relativitáselmélet ilyen, kvantumosan meg talán a kvantumgravitáció, talán a húrelmélet, talán valami egészen más).
Az meg, hogy a matek vagy a fizika a több vagy kevesebb, hát, mind a kettő mellett és ellen tudnék érvelni. Szóval leginkább más.
Végre egy jó cikk….:) Pár utóbbi néhány ugyan alapvetésben nagyon ott van, de nagyon olyanra sikerült…, hogy nyilván megártott a meleg…Fárasztó. Bocs….:) További mat-fiz jöhet, de a politika már a kutyagumin rugózás…:) Ugysem változik semmi.
Ez most nagyon szép volt, tetszett – az előző kevésbé.
ÉN: ChatGPT, lécci, foglaljad össze a szöveget érthetőbben!
ChatGPT:
Ebben a szövegben a matematika nehezen érthető fogalmairól és a matematikai fejlődésről van szó. Két fiatal matematikusról, Neumann Jánosról és Irving Segalról, akik huszonkilenc évesen fontos dolgokat tettek a kvantummechanika elméletének matematikai megalapozásában. Azonban a szöveg fókuszában nem maguk a matematikai formulák és gondolatok állnak, hanem inkább a matematika nehézségeiről, reménytelenségéről van szó.
A C-algebrákról és von Neumann-algebrákról is beszél, amelyek összetett matematikai struktúrák a kvantummechanikában, és amelyek egyre bonyolultabbá váltak az idő múlásával. Az Elliott-féle programról szól, amely a C-algebrákat próbálja osztályozni, de a szöveg kiemeli, hogy ezek a kérdések rendkívül nehezek és reménytelennek tűnhetnek azoknak, akik nem mélyedtek el bennük.
A szöveg arról is beszél, hogy az elméletből hiányzik valami, mint például a kör fogalma, amelyet a matematikusok már régóta ismernek. Később említi, hogy az Elliott-féle programban új algebrákkal találkoztak, amelyek meglepő módon klasszifikálhatóak voltak.
A szöveg végén az író arról elmélkedik, hogy az igazság és a fejlődés gyakran nehézkes és reménytelen lehet, még akkor is, ha néhány ember életét nagyon mélyen megérinti és változtatja meg. Azt is megjegyzi, hogy az igazság megértése nem feltétlenül jár együtt a mindennapi élet javulásával vagy a technológiai fejlődéssel.
ÉN: Most rövidítsed le egy koanra, köszi
ChatGPT: Huszonkilenc éves matematikusok küzdelme a reménytelenség és fejlődés között, a matematika bonyolultságáról és az igazság megértésének nehézségeiről szólva.
ÉN: ez nem koan
ChatGPT
Bonyolult matematika és reménytelenség: két huszonkilenc éves matematikus küzdelme az igazságért.
Ilyen