Betti és a migránsok (Igen vagy Nem?)
Eredeti szerző: jotunder
(A posztban egyáltalán nem lesz szó migránsokról, szemben például a Bettivel, akiről meg igen. )
1. Betti nem nő. Betti egy szám, sőt több szám, amelyeket alakzatokhoz rendelnek, és nem is egy, hanem többféle módon. A i-edik (valós) Betti-szám az alakzat i-edik valós kohomológiaterének a dimenziója. A kohomológiatér érintőlegesen és leginkább elvileg megjelenik a műszaki oktatásban, ugyanis a mérnökök általában tanultak olyan mondatokat, hogy bizonyos feltételek mellett a konzervatív erőterek potenciálosak, a rotációmentes terek pedig divergenciák. A kohomológia tér valami olyasmit magyaráz el, hogy mi van akkor ha ezek a feltételek nem teljesülnek, hány lényegesen különböző konzervatív erőtér van, ami nem potenciálos, hány rotációmentes tér van, ami nem divergencia. Nagyjából. Most erre mondhatja bárki, hogy milyen absztrakt hülyeség ez az egész, kit érdekel, hol lesz ebből atombomba vagy légzőkészülék, és valóban, ebből nem nagyon lesz atombomba vagy légzőkészülék.
2. De. …..Betti a dolgok alakjáról, formájáról szól, és a forma az egy fontos tulajdonsága a dolgoknak. A gömb nem lukas (lásd Mérő László örökbecsű marhaságát), az úszógumi, amit bátran nevezhetek a továbbiakban tórusznak, hát nem teljesen mindegy, meg lukas. Amikor az ember megpróbálja azt a dolgot, tárgyat egy számítógép számára is kezelhetővé tenni, akkor úgy képzeli el, hogy kicsi részekből van összerakva, pontokból, élekből, lapokból, és ezen pontok, élek, lapok illeszkedése aránylag jól kódolja el a dolog formáját. Ezen dolgok akár magasabb dimenziósak is lehetnek, és akkor magasabb dimenziós lapok is kellenek a kódoláshoz, de a kód maga akkor sem túl bonyolult, fel vannak benne sorolva a különböző dimenziójú építőkockák, legók és az a mód, ahogy össze kell őket illeszteni. Az összeillesztési kódból bizonyos egyenleteket lehet felírni és ezen egyenletek megoldásával is nyerhetők számok. Teljesen megdöbbentő módon, ha egy teret lekódolunk, akkor a kódokból kapott számok és a fenti erőteres érvelésekkel kapott számok megegyeznek. Ezt az egészet nagyon régen felfedezték, jóval a számítógépek megjelenése előtt, Betti, az az Enrico Betti, 1892-ben halt meg. A lényeg az, hogy különböző módon, de számokat lehet rendelni az alakzatokhoz, és ezek ha nem is teljesen pontosan, de aránylag jól leírják az alakzatok formáját.
3. Ezek a dolgok, alakzatok, tárgyak, amelyekre a fentiekben gondoltam, végesek, legalábbis véges sok egyszerű darabból lehet őket összerakni. Ilyen esetekben csak idő kérdése a Betti-számok kiszámolása. Ami most jön, az is baromi régi, Poincaré 1895-ben írta le (ő azért elég komolyan hozzájárult a relativitás-elmélethez is, nagyon nagy matematikus volt), de az sem nagyon egyszerű. Gyakorlatilag reménytelen. Viszont a reménytelenség is része a történetnek, de legalábbis a reményhez vezető út hossza. A Galois-ról van szó, az Évariste Galois-ról, aki még nem volt 21 éves, amikor abban a bizonyos párbajban meghalt. Ő találta ki a csoportokat, azért, hogy az ötödfokú egyenletek megoldhatatlanságát (egészen pontosan a gyökök algebrai szimbólumokkal való leírhatatlanságát) bebizonyítsa. A Rubik-kocka is tulajdonképpen egy csoportot ír le, aminek egészen pontosan 43252003274489856000 darab eleme van. Mindazonáltal az egyetlen matematikai alakzat, amit azért nagyjából mindenki ismer, az egész számok, is valójában egy csoport, egy végtelen csoport. Minden egyes alakzathoz hozzá lehet rendelni egy csoportot, amit Poincaré a fundamentális csoportnak nevezett el. Ez a csoport azt magyarázza el, hogy mennyire igaz (mennyire nem igaz) az, hogy a hurkokat össze lehet benne húzni, ez az a feltétel, ami a mérnökök konzervatív erőtereinél és az idézett Mérő László szövegnél is megjelenik.
4. Az ember ott áll, kezében egy véges alakzattal, amelyekhez vagy erőterek vagy számítógépes kódok segítségével, de számokat tud rendelni. A kétdimenziós gömbök esetén a számok 1,0,1 (a nulladik, az első, és a második Betti-szám, a harmadiktól felfelé már mindenki nulla). A tórusznál 1,2,1, a közönséges nyolcas (8) lásd még a végtelen jelét, esetében 1, 2 (itt már a második Betti-szám is nulla). Igen, ha váltakozó előjellel összeadjuk ezeket a számokat, akkor a híres Euler-karakterisztikát kapjuk, ez sem véletlenül van így.
5. Poincaré azt is észrevette, hogy minden véges alakzathoz, hozzá lehet rendelni egy másikat (ami általában, de nem szükségszerűen végtelen), amelyikben a hurkok már mindig összehúzhatók. Ez az alakzat lokálisan meglehetősen hasonlatos az eredeti alakzathoz. Ha az eredeti alakzat a kör, akkor ez a valami (univerzális fedőtérnek hívják, ha lúd legyen kövér) az egyenes, ha az alakzat a nyolcas, akkor egy végtelen fa, amelynek minden csúcsából négy él indul ki, ha az alakzat a tórusz, akkor a sík. Ha az alakzat egy kétlyukú fánk, akkor az univerzális fedőtér szintén a sík, de valahogy igen meglehetősen abban a hiperbolikus formájában, ahogyan azt a Bolyai János elképzelte.
6. Van egy mantra, amit az Évariste Galois már tökéletesen értett volna. Ezen mantra segítségével a véges alakzatból egyre nagyobb véges alakzatok segítségével fel lehet érni a tetejéig, az univerzális fedésig (nem, nem mindig, de az összes fent tárgyalt esetben igen, attól függően, hogy a Poincaré-féle fundamentális csoport elég csinos-e). Ezek az ún. tornyok egyre jobban hasonlítanak ahhoz az ideális végtelen térhez ott a végén. (Igen, egyszer írtam a Lovász Lászlóék egyre nagyobb gráfjairól, aminek tulajdonképpen erősen köze van a Barabási-Albert László egyre nagyobb ismeretségi hálóihoz, amelyekről szintén írtam, és szintén egyre növekednek, és egyre inkább hasonlítanak egymáshoz, és ezen jelenségeknek valóban van közük egymáshoz).
7. A közelítő alakzatoknak is vannak Betti számaik. Ha mondjuk a hetedik Betti-számot vesszük, akkor jelöljük ezt a számot C(k,7)-tel. Mivel a közelítő alakzatok egyre nagyobbak, ezeket a számokat le kell még osztani azzal a számmal, amennyivel a k-adik közelítő alakzat nagyobb az eredeti alakzatnál. Ez a normalizált érték legyen mondjuk B(k,7).
8. Valamikor a nyolcvanas években egy David Kazhdan nevű matematikus észrevette, hogy azokban az esetekben, amelyeket ő ki tudott számolni, a B(k,7) számok (meg a B(k, 1) számok, a B(k,2), stb) konvergálnak (egyre közelebb lesznek) valamilyen értékhez. Nem tudta bebizonyítani, hogy ez mindig így van, de ez több mint gyanús volt a számára.
9. Neumann Jánost sok mindennel kapcsolatban szokták emlegetne. Ha ő mondhatta volna meg, hogy mivel kapcsolatban emlegessék, akkor nagyon valószínű, hogy a ma, nemes egyszerűséggel, Von Neumann algebráknak nevezett találmányát említette volna. A hetvenes években egy Atiyah nevű matematikus ( a huszadik század egyik legnagyobb matematikusa) Neumann János algebrái és a Neumann János elméletében szereplő fraktáldimenzió szerű számok segítségével körülírt egy olyan elméletet, amely segítségével az eredeti alakzathoz rendelt végtelen téren is lehet Betti-számokat értelmezni. Ő ezt igazából a kvantummechanikához akarta használni, de így alakult.
10. Felmerült (Gromovnál, akiről már szintén írtam posztot), hogy mi van akkor ha azok a B(k,7) számok, ahogy a k egyre növekedik, éppen az Atiyah k.-ik számához közelítenek… Enrico Betti, Henri Poincaré, Georges de Rham, tehát a klasszikus analízis, geometria és topológia, a misztikusan növekedő tereken keresztül, a végtelenben elér Neumann János megfoghatatlan kvantumszámaihoz. Ami azért elég félelmetes.
11. És ez valóban így van, ezt bebizonyították 1994-ben, és ez nagyon sok mindent megváltoztatott. Diák voltam Amerikában, a témavezetőm kapta meg levélben a bizonyítást, és csak néztem, és arra gondoltam, hogy ez milyen hihetetlen dolog, és milyen jó lenne megérteni, hogy mi ez az egész. A történetek, egymásba gabalyodtak, kiderült valami, amire senki sem gondolhatott a huszadik század elején, megszületett valami más, amit újra meg kell érteni, hogy új, megválaszolhatatlannak tűnő kérdések merüljenek fel, amelyeket megint meg kell érteni, és így tovább.
12. Ezek a dolgok ilyenek, nemhogy királyi út nem vezet hozzájuk, hanem praktikusan semmilyen. El lehet őket mutogatni egy vicces kis posztban, de minden félmondat mögött van valami elméletféle, amit valamikor meg kell tanulni, és a végén az ember elér arra a szintre, ahol a világ 1994-ben volt, már jó esetben, és nincs más lehetőség. Vannak ilyen dolgok, van egy ilyen világ, azt is túl kell élni valahogy, és én most erről a világról akartam beszélni és nem arról a másikról.
<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16518866-6ae0634569046' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16518866&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16518866-6ae0634569046&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16518866-6ae0634569046' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>
beszép
Engem a kohomológiatér szónál elvesztettél. Volt már velem ilyen, harmadévben analízis elöadáson. Csak ott ez kínosabb volt.
A többi betüt is mind elolvastam, de nem volt benne Orbán. Meg migráns se.
„és én most erről a világról akartam beszélni és nem arról a másikról.”
amelyikben molnárgyula azt mondta riporteri kérdésre a rádióban, hogy az emeszpé nem ért egyet (blablabla), sőt, ha tehetné, megakadályozná ezt a gyűlöletkeltő népszavazást, csakhogy nincs kormányon?
lehet, hogy molnárgyula csak nem egy okos ember, de az is lehet, hogy ténlyeg azt gondolja, hogy ha kormányon van, megakadályzohatna egy népszavazást. ki tudja. enrico betti vagy henri poincaré biztosan nem.
@sárospataki lány: Es ez, hogy jön ide?
@sárospataki lány: ugyanmár, Magyarországon nem fordulhat elő hogy kormány megpróbáljon megakadályozni egy népszavazási kezdeményezést.
@danesdzsu2: Ez valóban elképzelhetetlen.
Még a végén sérülne a jogállam, te atyaúristen.
Elolvasva – és már csak keveset értve a posztból – elgondolkodtam, mi lehetett volna belőlem, ha nem nyergelek át a tiszta halmazelméletről a mikroprocesszorokra (1974!)
Too late, viszont azért a szakmámba se lettem senki 🙂
@danesdzsu2: @velőtanya: :))))
Remélem, a Mandíneresek átlátnak a szitán, és kiteszik a posztot, mint liberális uszítást.
Amúgy jópofa, hogy az 1994-es cikk első oldalán Lück a saját tételét Kazdhan Egyenletének hívja. Kicsit, mintha Einstein a relativitáselméletét úgy hívta volna, hogy Galilei-féle relativitáselmélet. Vagy mintha Tarlós a 4-es metrót Demszkyről nevezte volna el.
Kellene egy tldr verzió. 🙂
(j/k)
…de legalább szép vagyok.
@jotunder: hát, gondoltam a migránsok, meg minden, tudod …
@danesdzsu2: ugye?
@jaegtoer: én meg hova álljak? 🙂
Bárcsak érteném. De hát nem. Az azért megnyugtató, hogy mégiscsak rend van a világban. A maga módján.
Betti? Ismerem a hölgyet…
Szeretem Bettit! Világos?
Elmentek ti a fenébe.
Kivándoroltam Essenbe nénit ápolni, kaja a hűtőben.
Betti
Egyszer már valamilyen Archimédész próbált zárni a meg nem zavart körökkel, de nem lett vidám vége. Őt sem értették meg. Ilyen világ ez, nem vének való, na. Amúgy tessék naprakésznek lenni. Ma nincs, mert nem is lehet olyan történelmi vonatkozása semminek, ahol nem szerepel a társadalmi relatívitás elméletének (értsd: minél nagyobb energiával hazudunk, annál jobban lassul (helyenként hátrafelé is folyik) az idő a referencia társadalmakhoz képest) nagy doyenje: 444.hu/2016/09/02/orban-viktor-maris-bekerult-az-allami-tortenelemkonyvbe
Miért 12 pont?
„és csak néztem, és arra gondoltam, hogy ez milyen hihetetlen dolog, és milyen jó lenne megérteni, hogy mi ez az egész”
Pedig ott a szövegben a megoldás, ehol e.
„és arra gondoltam, hogy ez milyen hihetetlen dolog, és milyen jó lenne megérteni, hogy mi ez az egész”
Így valahogy 🙂
Nem tudom, hogy a következő mondatnak matematikusok számára van e értelme, de az én laikus fülemnek valami hiányzik.
„Ezen mantra segítségével a véges alakzatból egyre nagyobb véges alakzatok segítségével fel lehet érni (nem, nem mindig, de az összes fent tárgyalt esetben igen, attól függően, hogy a Poincaré-féle fundamentális csoport elég csinos-e). „
Föltételezem, hogy egy magasabb (n-ik) dimenzióban ez analóg a dakota közmondással, miszerint „Magas lónak túros a háta”.
@Advocatud Diaboli: kimaradt onnan valami, a végtelenül hosszú zárójelezés miatt, (amikor is el szoktam felejteni, hogy miért is kezdtem bele a zárójelekbe) kösz.
Mindig éreztem egy kis irigységet, amikor matematikusok olyasmiket írnak, hogy „ezek ha nem is teljesen pontosan, de aránylag jól leírják…” meg a hasonlók.
Viszont megnyugtató, hogy a Kohomológia teret (pláne a Hilbert teret) holmi bürokraták nem tudják egy rendelettel átnevezni, avagy a lokális divergenciák globálisan mégiscsak konvergensek.
Én értem ám, csak azt nem tudom, hogy akkor most ez egy optimista üzenet, vagy egy fenyegetés akar lenni, miszerint létezik a másvilág?
@jotunder: A Betti, az nem a Tarski csaja volt? A Banach-hal használták felváltva.
@balmoral:
OFF
Igen, az Oszi és a Joli lánya. Laller kavart vele …is.
ON
@ijontichy:
„_Viszont megnyugtató, hogy a Kohomológia teret (pláne a Hilbert teret) holmi bürokraták nem tudják egy rendelettel átnevezni_”
Valamennyit lehet, hogy várni kell rá, de nem lehetetlen. Csak pedzegesd, és: „hozunk rá törvényt.”
@jotunder:
nagyon szép volt, könnybe lábadt a szemem, bár csak a kötőszavakat értettem, meg a személynevek egy részét ismertem föl…
@Secnir: Nem tudom mit nem lehet ezen érteni. Elmondom allegórikusan.
Volt egyszer egy szegényember, annak három fia. A legidősebb államtitkárhelyettes lett, a középső meg alíg bír megélni a tanári fizetéséből. A harmadik gondolt egyet, megmondta édesapjának, hogy elmegy világgá. Édesapja adott neki egy kulcsot, ami csak úgy a ház körül volt, már senki se tudta mire való is volt. De hát szegény ember volt, másrt nem tudott adni. No ezzel felült a Ryanaire járatára és elment világgá. És ment a szegény legény, egyik országból a másikba, városról városra, és ahol kulcsmásolót látott, mindenhol reszeltetett egy kicsit a kulcsán, de csak úgy gondolom formán. Addig-addig, míg el nem jutott a legényke Rawalpindibe, ahol a piac mellett egy kis házban meglátott egy világszép királykisasszonyt, aki a gázrezsóhoz volt láncolva egy fura lakattal. A legényke elgondolkodott, majd belepróbálta a világ csücskein csiszolt kulcsát a lakatba és csodák csodája, úgy paszolt bele, mint ahogy a legényke paszolt a királykisasszonyhoz. Máig is boldogan élnek, ha meg nem haltak. Rawalpindiben meg azóta is azon gondolkodnak, hogy vajon tényleg szükség volt az összes kulcsmásoló összes reszelésére, hogy az a lakat kinyíljon, vagy a lakat már elrozsdált, és igazából egy görbe dróttal is ki lehetett volna nyitni.
@ámbátor: Kösz, most már minden világos! És ha egy fémfűrészt vitt volna? Az még szabályos? Esetleg még jobban jár az ifjú, ha beletörik a kulcsa a lakatba?!
@esernyősEvezős: Azon röhögök, hogy mindegy miket hord itt össze nekünk jótündér, mi mindig jól elszórakoztatjuk egymást.
Nekem csak egy bajom van, hogy a szuperhúrelmélet csak 10 dimenzióban jön ki Lorentz invariánsra.. és uigye a felesleges hat dimenziót próbálgathatjuk ide oda eltüntetni, meg felcsavarni, megakármi.. de a végén kilóg mindenhonnan.
@Kulics: Ez nekem is elrontotta a napomat, de ha csak ez az egy bajod van, az még mindig irigylésre méltó:)
Khöm. Egggen.