A csodálatos elme kapta az Abel-díjat
Eredeti szerző: jotunder
Nem láttam a magyar lapokban. John F. Nash és Louis Nirenberg kapta az idei Abel-díjat. Nash-t játszotta Russel Crowe a Beautiful Mind-ban. Nash korábban a közgazdaságtudományi Nobel-díjat is megkapta játékelméleti munkásságáért (amiről ezt érdemes elolvasni).
Arra gondoltam, hogy írok pár sort arról, hogy mi köze van Nash-nek Bolyai Jánoshoz, már azon túl, hogy mindkettőjüknek nagyon komoly pszichés problémái voltak életük egy részében.
Bolyai (+Gauss + Lobacsevszkij) vezette be a hiperbolikus geometriát a matematikába, tökéletesen tudtak számolni a hiperbolikus síkon, de nem tudták belátni azt, hogy a hiperbolikus geometria valóban „létezik”.
Ha van egy felületünk egy térben, mint például a gömbfelület a háromdimenziós térben, akkor bármely ívnek ki tudjuk számolni a hosszát. Ezzel van megadva tulajdonképpen a felület geometriája, ez után beszélhetünk a tér görbületéről.
Teljesen absztrakt módon is létrehozhatunk azonban geometriai rendszert egy felületen. Vegyük mondjuk a síkot és adjunk meg rajta egy differenciálható függvényt, aminek az értékkészlete kétszer kettes szimmetrikus mátrixokból áll, olyanokból, amelynek a sajátértékei pozitívak. Mit jelent ez? Minden egyes pontban a vektoroknak van egy régi hossza, a klasszikus síkbeli hossza és van egy új hossza, ami az x pontban a v(x) vektorra A(x)v(x).v(x) négyzetgyöke, ahol A(x) a mátrix értékű függvény értéke és a pont a formulában a skalárszorzatot jelenti. Azért volt szükség a sajátértékek pozitivitására, hogy a vektorok hossza mindig pozitív legyen. Ezzel a módszerrel meggörbítjük az eredeti teret. Ha egy autó a síkon halad, akkor a régi rendszerben is van egy sebessége, és az új rendszerben is, tehát kiszámolható két pont között az új legrövidebb út, ami nem feltétlenül egy egyenes szakasz.
A hiperbolikus geometriát amúgy egy nagyon egyszerű mátrixfüggvény írja le.
Ezt a trükköt akárhány dimenziós térben el lehet végezni (sőt, nem kell feltétlenül euklideszi terekből kiindulni) és különböző görbült tereket lehet képezni teljesen absztrakt módon. Riemann geometriának hívják.
Nash (lényegében) azt bizonyította be, hogy minden absztrakt módon definiált tér, konkrétan is realizálható egy magasabb dimenziós térben. Azaz belehajlítható egy euklideszi térbe (általában sokkal magasabb dimenziós térbe) egy felület úgy, hogy a magasabb dimenziós térből örökölt geometria az pontosan az absztrakt módon definiált geometriával legyen egyenlő. Azaz, az absztrakt hosszak pontosan a behajlításból eredő hosszakkal egyezzenek meg.
Életemben egyszer találkoztam Nash-hel, egy konferencia szünetében, majdnem két egész másodpercig beszélgettünk (tájékoztattam a mellékhelyiség pontos helyéről), pontosan ugyanilyen mélységű a kapcsolatom Orbán Viktorral, akivel az Uránia mozi előtt találkoztam sok évvel ezelőtt. Most inkább Nash-ről írok posztot, és nem az Orbánról.
<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16519152-6ae6630aacbb5' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16519152&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16519152-6ae6630aacbb5&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16519152-6ae6630aacbb5' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>
Jótündér, akkor egy fél mondatott eresszünk meg arról is, hogy a mátrixfüggvény pozitivitását is eldobjatjuk, elegendő, ha a mátrix minden pontban invertálható. Ha pl. a mátrix 4×4-es és egy pozitív és hátom negatív sajátértéke van, akkor kapjuk az általános relativitáselméletben alkalmazott geometriát. Ez egy olyan pont, ahol a matematika és a fizika gyönyörűen összefonódik, sok matematikai tételnek fontos fizikai alkalmazása van, és a fizika erősen motiválta a matematika fejlődését.
@szazharminchet: A Minkowski-tér egy pszeudo-Riemann sokaság, tehát kapásból nem alkalmazható rá a Nash-tétel. Vizsgálták, hogy van-e Nash típusú beágyazás valamilyen (n,-n) pszeudo-euklideszi térbe, és valamiért egyszerűbb a kérdés, mint az eredeti. Clarke (1970) Proc. Roy.Soc. London A314
És, mondd Jótündér, milyen függvénnyel írtad le a mellékhelyiséghez vezető legrövidebb utat? Valamint mikor írsz könyvet a nagy emberhez fűződő sok évtizedes emberi és szakmai kapcsolatodról, (nevezzük egyszerűen barátságnak,) ha már ilyen szépen összeismerkedtetek?
a bevezetöt még értettem
@balmoral:
Ottlik Géza PRÓZA kötetében van egy Réz Pál készítette „Félbeszakadt” beszélgetés, amelyben szóba került Fejér Lipót matematikus, aki Ottlik tanára volt az egyetemen.
Ajánlom szíves figyelmébe! (főleg a Koromzay Dénes történetet)
mek.oszk.hu/01000/01003/01003.htm#4
Nash maradandót alkotott, ovi reméljük nem.
Ezt most értettem, úgyhogy valószínűleg nem olvastam elég figyelmesen. 🙂
Ha már egyszer jótündér akkor kérnék.
Tessék matematikafilozófiáról is posztolni.
@zenonküp: sajnos nem értek a matematikafilozófiához.
@jotunder:
Őszintén sajnálom.
Viszont a matematikához ért.
Ez nemcsak engem érdekel.
Jó dolog erről olvasni a blog-hun.
@hazaváró: ahogy Ottlik ír az emberi kisugárzásról (nemcsak itt), az félelmetes (meg érdemes a róla készült tévéfilmet nézni, ahogy magyaráz! tkp. mindegy (dehogy mindegy!), mit mond
egyszerű példám: mondott egy-két nagyszerű mondatot mindkét csodálatos magyartanárom a gimnáziumban, ami meghatározta a gondolkodásomat, de a legfontosabb az volt, ahogy egy könyvhöz nyúltak meg ahogy elkezdtek róla beszélni (meg amit elvárták, hogy ismerjem, anélkül, hogy konkrétan mondták volna)
mindegy, mi marad utánam, de ha egyszer úgy gondolna rám egy (egyetlen egy) értelmes ember, akihez közöm volt…
Szerencsére mindenhol így van, pl. a köztévé nézői adják össze a működtetéshez szükséges pénzt.
JóTündér
Ezen blog „2015.03.26. 13:24” bejegyzésében bukkantam rá kedvenceim, a mátrixfüggvények egy lehetséges, s általam még nem ismert alkalmazási területére. Mint írta, egyszerű mátrixfüggvénnyel hiperbolikus geometriát is le lehet írni, képezni. Kérem – ha van elég ideje és lehetősége – szíveskedjék erre vonatkozóan néhány hozzáférhető publikációt számomra citálni, megnevezni. Beleértve J. Nash esetleg ezzel kapcsolódó munkásságából az erre utalót is.
Magam ezen alkalmazói területhez nem értek. Jártas különféle paraméteres mátrixfüggvények előállításában és kiszámításban vagyok, voltam. Sok-sok évvel ezelőtt (még a ’80-as években) tetszőleges, pl. 25*25-ös négyzetes X mátrix exp(tX) mátrixfüggvényén próbáltam ki saját definíciós módszeremet, mely az osztott differenciák sajátságosságának felhasználására épült. Sajátértékek tetszőlegesek lehetnek: nulla, pozitív, negatív, imaginárius, komplex. Multiplicitásaikra sincs korlát. Ezek ismeretében a minimálpolinom is egyszerűen (gépileg) meghatározható. Definíciós módszeremmel akármilyen analitikus függvény mátrixfüggvénye előállítható: sin, cos, sh, ch, … stb. A gépi erőforrások azóta nyitotta lehetőségeivel a 25*25-ös mátrixméret lényegesen megnövelhető, s ezzel a leképezhető tér dimenziójának számossága ennél nagyobbra is bővíthető. Így analitikus paraméteres függvényekre értelmezve előállíthatók különféle mátrixfüggvények tetszőleges struktúrájú nagyméretű négyzetes mátrixokra. (Az általánosítást adó paraméter tetszőleges lehet. Általában azonban az idő, de lehet t=1 is.)
Maradok előre is köszönettel: Baján
Nyugodjon békében. 🙁
זכרונו לברכה
444.hu/2019/03/19/eloszor-kapta-no-az-egyik-legnagyobb-presztizsu-matematikai-dijat
@ámbátor: írtam róla egy posztot, de annyira bénának találtam, hogy nem tettem fel. :(( az a baj, hogy én nem értek a harmonikus leképezésekhez. sok-sok-sok éve elmagyarázták nekem, és baromi szép elmélet, de végül begyávultam. valószínűleg nem lett volna hülyeség, de nem voltam biztos magamban.
@jotunder: Mondjuk nekem mindegy, úgyis csak a kötöszavakat értettem volna, de öröm látni, hogy a Kárpát-medencén kívül van olyan is, hogy okos emberek érdekes dolgokkal foglalkoznak.
@ámbátor: én ilyenkor mindig odanézek a quanta magazinra. nem mondom, hogy okosabb leszek, de valami halovány fing. arra nem mernék megesküdni, hogy a közember megsüvegeli a teljesítményt, hogy aszomgya: „To envision a bubble singularity, imagine that you’re chewing gum, and you blow a bubble but then gradually pull more and more of the gum inside your mouth, while still maintaining the bubble at the same size.” – mi a fene ezen olyan kurva nagy dolog, csak vigyázni köll, hogy ne pukkadjon a pofájára.
http://www.quantamagazine.org/karen-uhlenbeck-uniter-of-geometry-and-analysis-wins-abel-prize-20190319/