Megcsinálta az AI a kritikus perkolációs problémát minden dimenzióban.
Ez a probléma lényegében érthető. Vegyünk egy rácsot (2,3, akárhány dimenzióban). Vegyünk egy p konstanst 0 és 1 között majd a rács minden élét p valószínűséggel hagyjuk meg, 1-p valószínűséggel dobjuk el.
Ha p nagyon kicsi, akkor 1 valószínűséggel egy olyan gráfot kapunk, amely véges komponensekből áll, az eldobott élek szétdarabolják a rácsot. Ezzel szemben ha p elég közel van az 1-hez pont a ellenkezője történik lesz egy nagy végtelen cluster és persze sok kicsi darab, amit azért kivágott a véletlen konstrukció a gráfból.
Van egy ún. kritikus p ( the critical exponent, ami persze függ a rács dimenziójától) ami alatt csak véges szigetek lesznek, felette viszont lesz végtelen cluster. A kérdés az volt, hogy a kritikus p-ben mi a helyzet. Van végtelen cluster vagy nincs? Tehát a fázisátmenetnél mi történik. Metaforikusan: amikor éppen megfagy a víz, akkor inkább folyékony vagy inkább szilárd?
Két dimenzióra és legalább 11 dimenzióra tudták, hogy nincs végtelen cluster, 3 és 10 dimenzió között ez megoldatlan volt. Az AI (Claude) viszont most megoldotta és azért ez a perkolációelmélet (ezt a konstrukciót, ami élek segítségével egy végtelen részgráfot konstruál, bond percolation-nek nevezik) egyik kiemelt problémája volt.
<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16532986-6ae5e85bad114' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16532986&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16532986-6ae5e85bad114&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16532986-6ae5e85bad114' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>
Jó, de van végül vagy nincs pl. 3 dimenzióban?
[@poszt]: „critical exponent” helyett „critical density”.
@jack_of_all_trades: Az volt a sejtés, hogy nincs, és ezt is bizonyították. Nem lehetett volna máshogy, vannak dolgok, amik tuti igazak, csak még nem tudjuk egészen, hogy miért.
Hát ez tök érdekes. Magamtól azt tippeltem volna, hogy ez nem ennyire pontszerű átmenet; viszonylag kis p-nél is van egy még sokkal kisebb valószínűsége, hogy pont megmarad egy laza de végtelen cluster és viszonylag nagy p-nél is előfordulhat, hogy pont szétdarabolódik. De legalábbis van egy intervallum, amiben vagy van végtelen darab, vagy nincs, ahogy épp sikerül.
De ezek szerint nem, hanem van egy halál pontos küszöb ami alatt mindig szétesik, felette meg mindig marad végtelen nagy darab. Nahát..
Engem határozottan megnyugtat ez az eredmény. Úgy éreztem, megöl ez a bizonytalanság a fázisátmenet körül, határozott alvászavaraim voltak miatta. De ugye, hogy jó ez az MI valamire, nemcsak jókat lehet vele dumcsizni. (Lásd: „beszélgetőgép”.)
Nahát, ebben nekem van egy olyan külön sokkoló, hogy pont eza probléma 3 dimenzióban jutott eszembe a nagyon híres nyitott kérdések közül, ahol azt vártam volna, hogy az AI kevésbé látványosan múlja felül az emberiséget. Az intuicióm emögött az volt, hogy ez egyrész olyan kérdésnek tűnik, ami „mindenben ellentéte” egy ellenpélda megadásának (ami sok áttörésnek része volt), illetve hogy ennél a kérdésnél esetleg az embernek lehet valami előnye amiatt, hogy a háromdimenziós térről mégiscsak van egy csomó tapasztalatunk.
Nyilván ez az intuició teljesen rossznak bizonyult…,
@nyulambator: az a vicces, hogy ez a két tulajdonság pont kifejezetten látványosan kijön nagyon röviden. Az, hogy a végtelen komponens megléte 0 vagy 1 valószínűségű, abból, hogy ez egy olyan tulajdonság, amit egyrészt meghatároznak az élek, másrészt az élek bármely véges részhalmazától független: ha véges sok élt behúzok, azzal véges darabokból nem tudunk végtelent csinálni, és ugyanúgy ha van egy végtelen darab, azt véges sok él törlésével nem tudjuk véges darabokra bontani. Tehát az az esemény, hogy van végtelen komponens, saját magától is független, ami csak úgy lehet, ha (majdnem) biztos vagy (majdnem) kizárt. A monotonitás (ha egy p-re van végtelen komponens, akkor annál nagyobb p-kre is) úgy látható könnyen, hogy az egész folyamatot máshogy képzeljük el: először kiosztunk titokban minden élnek egymástól függetlenül egy-egy 0 és 1 közötti egyenletes eloszlású véletlen számot, majd azokat az éleket tartjuk meg, amik titkos száma legfeljebb p. Ez tök ugyanaz a folyamat, csak macerásabban tartottam meg p valószínűséggel mindegyik élt egymástól függetlenül. De most azt is tudom csinálni, hogy először kiosztom a titkos számokat, lerögzítem őket, és utána p-vel elkezdek csúszni 0-tól 1-ig. Itt, ha valamikor van egy végtelen komponensem, akkor persze később is megmarad legalább egy végtelen komponens (csak nőhet!), de akkor ezek szerint nagyobb p-re legalább akkora valószínűséggel látok végtelen komponenst, mint kisebb p-re.
@nyulambator: Ne felejtsd el, hogy a végtelen rácson vagyunk. Ha valami meg tud történni pozitív valószínűséggel itt, akkor ott is meg amott is meg tud történni, és tuti biztos megtörténik valahol, csak lehet, hogy messze kell menni. Annak a valószínűsége, hogy a fix origó fürtje végtelen, az valóban folytonos: kis p-kre nulla, egészen a kritikus sűrűségig, afölött kicsivel pedig kicsit pozitív; hogy a kritikus pontban sincsen ugrás, hanem folytonos az átmenet, az pont ekvivalens az ex-sejtéssel. És ez ekvivalens azzal is, hogy a végtelen fürt (amiből csak egy lehet a kockarácson) sűrűsége nullához közeli kicsivel a kritikus sűrűség fölött. Ebből a szempontból jó volt az elképzelésed. De annak a valószínűsége, hogy van VALAHOL végtelen fürt, az onnantól, hogy pozitív, már rögtön 1.
Amit @GHermann: írt, az kb ugyanez. De lehagyta az érvelés misztikusabb felét, amit talán Caratheodory extension theorem néven ismer a világ, miszerint minden eseményt, ami megszámlálhatóan végtelen sok független változótól függ, meg lehet közelíteni véges sok váltózótól függő eseményekkel is. Ezért ha sokkal arrébb mész, akkor ott kb már függetlenül következik be.