Neumann János öröksége
Eredeti szerző: jotunder
Neumann János/John von Neumann 1929-ben, huszonhat éves korában írta meg Zur allgemeinen Theorie des Maßes című cikkét. Számomra ez von Neumann legizgalmasabb munkája. Ebben definiálta az amenábilis csoportokat.
1924-ben jelent meg Stefan Banach és Alfred Tarski híres cikke, amelyben bebizonyították, hogy egy gömb felbontható véges sok darabra úgy, hogy ezen darabokból két az eredetivel azonos méretű gömböt lehet összerakni. A gömb térfogata tehát nem invariáns az átdarabolásokra nézve. Ezek a darabolások természetesen nem konstruálhatók meg, közönséges darabolásokkal nem lehet növelni a térfogatot, de amennyiben elfogadjuk a halmazelmélet kiválasztási axiómáját, akkor el kell fogadnunk ezen feldarabolások létezését. Ugyanakkor a körlap nem darabolható fel véges sok darabra úgy, hogy ezen darabokból két az eredetivel azonos méretű körlapot lehessen összerakni.
A különös jelenség mögött az áll, hogy a sík mozgáscsoportja amenábilis, a tér mozgáscsoportja pedig nem-amenábilis, de ezt Banach és Tarski legfeljebb csak érezhette 1924-ben.
Von Neumann a Ring of Operators című munkáját tartotta a legtöbbre az életében, ez egy négy részes cikk volt, amelyben leírta az operátoralgebrák elméletét, mely algebrákat ma von Neumann algebráknak neveznek. Szomorú aktualitása van ennek, a leghíresebb von Neumann algebra-kutató, Vaughan Jones, szeptember hatodikán halt meg.
Von Neumann észrevette, hogy ezen operátoralgebráknak vannak bizonyos építőkockái, a faktorok. Ő tulajdonképpen csak két végtelen dimenziós faktort tudott akkor még elkülöníteni, évekbe tellett, amíg hatalmas családjait konstruáltak ezeknek az objektumoknak. A legkisebb végtelen dimenziós faktor, von Neumann nagy találmánya, a hipervéges faktor volt.
A faktorok legegyszerűbb konstrukciója csoportokra épül és von Neumann észrevette azt, hogy pontosan akkor kapja meg az ember az ő kedves hipervéges faktorát, ha amenábilis csoportból indul ki.
Később kiderült, hogy a faktorok között is lehetnek amenábilisak, ennek van értelme, és Alain Connes számára Fields medált ért az a bizonyítás, hogy az amenabilitás és a hipervégesség fogalma megegyezik a faktorok esetében.
von Neumann másik híres faktorkonstrukciója csoportok mérték(térfogat)tartó hatását használta (a forgatás megőrzi a térfogatot, a nyújtás nem, ennél többet most inkább nem mondhatok). Ezen hatásokhoz gráfokat lehet rendelni, de ezek a gráfok nem végesek, hanem valamilyen értelemben „folytonosak”. Connes, Feldman és Weiss 1981-ben bizonyította be, hogy ezek a furcsa gráfok, természetes értelemben, pontosan akkor amenábilisak, ha hipervégesek. Nem, ezt meg sem próbálom elmagyarázni.
Amikor ezeket a különös gráfokat nézegeti az ember, egyébként Borel gráfoknak hívják őket, elfeledkezhet az ember a hatásról, csak és kizárólag a gráfra koncentrálhat. Ekkor is definiálhat egy amenabilitás és egy hipervéges fogalmat. Jackson, Kechris és Louveau majd húsz éve fogalmazta meg híres sejtését, miszerint már a Borel gráfokra is igaz az, hogy az amenabilitás és a hipervégesség fogalma egybe esik.
Ha egy ilyen Borel gráfot amenábilis csoport segítségével konstruálnak meg, akkor amenábilis lesz. És sajnos pont azt nem tudják, hogy az amenabilitásból következik a hipervégesség, csak a másik irány könnyű. Azt már elég régen tudják, hogy ha az az amenábilis csoport az egész számok csoportja, akkor a gráf hipervéges lesz. Amikor a csoport még elég kicsi, hasonlít az egész számokra, akkor nagyon nagy munkával ki lehet szasszerolni a hipervégességet, de ha a növekedése exponenciális, mint a koronavírusnak rosszabb pillanataiban, akkor semmit sem lehetett mondani. Egészen a mai napig.
Ma kiderült, hogy poly-ciklikus csoportokra a sejtés igaz. Azok pedig tudnak exponenciális növekedésűek lenni. A bizonyítás arra alapszik, hogy ezen csoportok valamilyen értelemben véges dimenziósak. Ez egy nagyon komoly áttörés a matematika ezen területén.
Az Olvasó most azt gondolja, hogy ugyan mennyivel lett beljebb ettől az emberiség. Erre persze nem tudom a választ. Von Neumann egészen biztosan a kvantuummezőelméletet emlegetné, ahol van jelentősége a hipervégességnek.
Tavaly decemberben ugyanitt ültem a gép előtt, és észrevettem egy cikket, amelyben olyasmiről volt szó, amitől talán beljebb lesz az emberiség. Vannak nagyon fontos hálózati algoritmusok, amelyek a mai tudásunk szerint nagyon sokáig futnak. A hálózat méretétől függően exponenciális időben. Persze elképzelhető, hogy gyorsabban, de erre nem nagyon vár senki. Azt vették észre, hogy bizonyos esetben ezek az algoritmusok polinomális idő alatt már elég jó közelítő megoldást tudnak szolgáltatni. Abban a cikkben, amit decemberben találtam, azt írták le, hogy bizonyos hálózatokon, valóban léteznek ilyen közelítő algoritmusok. Ennek pedig az az oka, hogy azok a hálózatok a megfelelő értelemben hipervégesek. Nem volt rossz ötlet megnézni azt a cikket, ezt csak úgy magam számára teszem hozzá.
A lényeg az, hogy ma egy kicsit többet tudunk a világról, von Neumann örökségéről, és ez szerintem már önmagában is jó dolog.
<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16517990-6ae37cc9427b4' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16517990&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16517990-6ae37cc9427b4&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16517990-6ae37cc9427b4' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>
http://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA
„két azonos méretű gömböt lehet összerakni”.
Nem maradt ki az, hogy két, az „eredetivel azonos”? Meg a körnél is?
@szakértőbb: sajnos nem. abból én is kérnék-
@szakértőbb: play it safe, javítottam, köszi. 🙂
egyelőre akárhányszor belenézek, találok két elírást, de javítgatom.
@incze: Na ezért nem merek én matekos cikk alatt kommentelni még olyat se, ami hétköznapi ép ésszel nyilvánvalónak tűnik:)
Most már sejtem, hogy miért adnak olykor sejtésekre Fields-érmet. Bárcsak lenne sejtésem a posztnak a feléről (tizedéről, századáról, ez egy sorozat).
@aronsatie: sejtésekre nem adnak fields érmet. sejtések megoldására adnak.
Mellesleg ne felejtsük el Neumannak a Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Springer, Berlin, 1932) c. művét sem, amiben megadta a kvantummechanika matematikailag korrekt megalapozását (állapotvektor, Hilbert-tér, nemfolytonos operátorok spektrálelmélete). Addig pl. a Schrödinger-féle hullámmechanika és a Heisenberg-féle mátrixmechanika azonosságát nem precízen (pl. Dirac-delta sajátfüggvények segítségével) tudták demonstrálni (Schrödinger, Dirac, 1926). Mellesleg a Dirac-delta precíz elméletét is kidolgozták később (Schwarz, 1950).
@jotunder: Na, még ez is. Sejtésem sincs, és ha lenne, se mennék vele sokra.
Azon toprengtem (jo, puffogtam) magamban a cikk olvasasa kozben, hogy az amenabilist miert nem lehetett kulon elmagyarazni, de ennek felhanytorgatasa helyett inkabb itt egy link, amit be lehetne rakni „magyaraztaknet”, mar ha valaki elolvasna.
orulunkvincent.blog.hu/2009/08/11/a_shavgulidze_rejtely
Jo, nemcikk, bejegyzes.
„egy gömb felbontható véges sok darabra úgy, hogy ezen darabokból két az eredetivel azonos méretű gömböt lehet összerakni”
Mennyit nyer ezen a Ferrero Rocher? (bocs)
@ikaruss: a fizikai szemlélet számára az is teljesen vad, ha egy gömböt véges sokfele vágunk, aztán két feleakkora térfogatú gömböt rakunk a darabokból össze — hiszen hogy lehet egy állandó görbületű testet másmilyen görbületű test(ek)be átdarabolni? (v.ö. a síkbeli Laczkovich-körnégyszögesítéssel.)
@ikaruss: A Ferrero Rocher-t ne emlegesd, légy szíves. Nemrég egy ismerősöm szívességet tett nekem, és pénz helyett a gyerekeinek Ferrero Rocher-t kért. Rendes tőle, gondoltam, elég tévesen. Jelentem, Ferrero Rocher-t nem lehet kapni, vagy a járvány miatt, vagy mert megszüntette Mr. Ferrero vagy Mr. Rocher.
@dr Brcskzf Gröőő: Azt hiszem, hogy pontonként. A pontnak meg nincs görbülete. Ha nem így van, akkor nem értem az egészet.
Csokival meg minden:
http://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA
(Remélem, erről van szó 🙂
@mafi mushkila: Most nézd meg a legelső kommentet!
@velőtanya: ez így még meglepőbb, két kisebb sugaú gömbbe, úgy ahogy (kuss a mechanikus képzeletnek), belenyugodtam, nagy ügy, mindenféle felületek nőnek, ha elég cirkalmas a szike, ld. tüdő. de olyan vágásokat, amik a gömb külső felületét annak görbületével kiadják még egy példányban a gömbön belüli darabokban, nagyhirtelen kizártam. hát ez persze nem belátás, hanem rapid ízlésbeli döntés volt. nehogymá a gömb szabdalással valahogy ki legyen fordítva mint egy zokni. (a végtelennel kapcsolatban a nyárspolgári ízlés nem nagyon működik)
@balmoral:
Mivel véges darabolásról van szó, pont nem játszik. (szvsz)
Engem már csak az érdekelne, hogy karnofallogocentrizmusról deterritorializációval belátható-e, hogy hipervéges.
Meg hogy a „kiderült” szó miért nem kötődik alanyhoz. Ki derítette ki?
@balmoral: Még a videót se néztem meg, mert vandógom, csak behoztam nektek játszani a kertből a döglött egérkémet addig is.
„lényeg az, hogy ma egy kicsit többet tudunk a világról”
Hát, fene tudja, de a posztot elolvasva úgy éreztem, hogy ezzel a világról alkotott tudásom inkább csökkent…
Örülök (egyes szám), hogy végre Laczkovich is előkerült 🙂
@DarthVader: Inkább a világ maga nőtt meg.
@incze: nem lehet a dolgot elképzelni. ugyanis, ha kidobjuk a kiválasztási axiómát a halmazelméletből, akkor a Banach-Tarskit nem lehet bizonyítani. nem lehet effektíve megkonstruálni a halmazokat. vannak.
érdekes módon, a Laczkovich tételnél, ami eredetileg szintén nemkonstruktív/nemmérhető, később találtak egy mérhetőt, aztán találtak egy olyat, ami már majdnem valódi darabolás, és pont az egyik szerzője annak a cikknek, amiről a poszt szól. a mérhetőt meg az a srác (és társszerzői) találta meg, aki megnyerte azt az ERC-t, amiben én vagyok a szinior. elég kicsi ez a világ. tizenkilencéves koromban jártam Laczkovich szemináriumára és tőle tanultam meg a Banach-Tarski bizonyítását.
@ikaruss: Akkor meg nem értem. Számomra egy gömbnek, amennyiben homogén téridomnak fogjuk fel, melyet fizikailag darabolhatunk, mint egy almát, tömege is van. Azt hiszem, itt nem erről van szó, legalábbis a videó alapján, amit igyekeztem szerény értelmemmel leképezni.
@balmoral: Maradjunk a térfogatnál. Szóval térfogata (=mértéke) csak mérhető halmazoknak van. A mérték additív, tehát m(H1 u H2) = m(H1)+m(H2) ha H1 és H2 diszjunkt. Ha a gömböt mérhető halmazokra „vágnád” (szó sincs vágásról, az valami síkokkal menne, legalábbis nekem nincs ennyire cakkos késem, elosztod a pontjait), akkor a darabok térfogatainak az összege az egész gömb térfogata lenne, és csak ugyanakkora térfogatú cuccot rakhatnál belőle össze. Ezek a mérhető halmazoknál sokkal rázósabbak.
@balmoral: Van egy Lebesgue-mérhetőség nevű tulajdonsága a normális dolgoknak, amit az igazán beteg (és tisztán elméleti) darabolások során elveszíthetnek. És akkor ugrik a tömeg meg a térfogat.
https://hu.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-mérték
@stefan75: Ennek őszintén örülök. Ez valami olyasmi lehet, mint a közpénzjelleg elvesztése.
Problémamegoldás.
Felek matematikus, fizikus.
Probléma: adot egy rezsó, egy fazék, és egy vízcsap. Hogyan melegítene fel egy fazék vizet?
– Fizikus: tele engedjük a fazekat a csapból, felrakjuk a rezsóra és bekapcsoljuk.
– Matematikus: tele engedjük a fazekat a csapból, felrakjuk a rezsóra és bekapcsoljuk.
Következő probléma: adott egy fazék víz, egy vízcsap és egy rezsó. Hogyan melegítene fel egy fazék vizet?
– Fizikus: felrakjuk a fazekat a rezsóra, és bekacsoljuk.
– Matematikus: kiöntjük a fazékból a vizet, így a feladatot visszavezetjük az erdeti problémára.
@balmoral: a következőről van szó. fogd meg a gömböt és vegyél két darab forgatást az origón keresztül. azt úgy kell megadni, hogy kijelölsz egy tengelyt, és a tengely körül egy szöget. hát ezt elég véletlenül csináld meg, nehogy valami közük legyen egymáshoz. akkor ez olyan, mint a bűvös kocka. van az A1, A2, a B1 és a B2 nevű forgatás. az A1 az első a kettőből, a B1 a második, az A2 az A1 visszacsinálása, a B2 a B1 visszacsinálása.
fogj meg egy pontot a gömbben. legyen ő az X pont. akkor van az A1X nevű pont (elforgattuk az elsővel), van az A1B1A2X pont (elforgattuk visszafelé az elsővel, aztán elforgattuk a másodikkal, aztán az elsővel) és így tovább minden lehetséges forgatási szcenárióra. mondd azt, hogy az Y pont akkor rokona X-nek, ha valahogy az X-et beleviheted az Y-ba. akkor nyilván Y-t is beleviheted az X-be. ilyen módon családokra bontottad a gömböt.
a Banach-Tarski lényege, hogy minden egyes családot fogsz feldarabolni és ezek adják ki majd együtt a gömb feldarabolását (kicsit kell majd bohóckodni az egy kimaradt ponttal).
eleve úgy fogod kezdeni, hogy minden családban kijelölsz egy főnököt, egy családfőt. a családfők a gömb egy halmazát alkotják. annak egyszerűen nincs értelme, hogy mennyi a családfők halmazának térfogata. nem azért, mert rohadtul rücskös, hanem azért, mert a családfők halmazának egészen biztosan nem lehet értelmes térfogatot kijelölni.
gondold meg, ha X a családfők halmaza, akkor van az A1X nevű halmaz, az A2X nevű halmaz, a B1A2B2B2A1A2X nevű halmaz és így tovább. mondhatod, hogy van az X1, X2, és így tovább, ahol az X1 az eredeti X a többi meg elforgatottja.
mennyi az X2 térfogata? hát annyi, mint az X1-nek, és nincs közös pontjuk. ezt kell megérteni, de ez a családfő fogalomból világos.
tehát az X1, X2,…. mind diszjunkt (nincs közös pontjuk) és ugyanakkora a térfogatuk. hát ez baj, mert végtelen sokan vannak. tehát a térfogatuk nulla. ha megnézed a stefan75 által belinkelt oldalt, láthatod, hogy a „térfogat” műfaj része, hogy ha vannak nulla térfogatú darabok és azok így szépen fel vannak sorolva, akkor együtt is nulla a térfogatuk.
@Igéző: amennyiben a világegyetem véges, akkor igen. egy kavicsnyi gömbből ki lehet rakni a Gellért hegyet. de ennek azért egészen minimális gyakorlati jelentősége van. konkrétan nulla.
@aronsatie: Láttam egy hülye reklámot. Nem gondoltam, hogy bármi hasznát veszem, de most tessék, megtörtént.
A cég szerint nyáron többek közt ezt a terméket sem forgalmazzák, mert a meleg miatt romolhat a minősége.
Örülök, hogy segíthettem,
@jotunder: Most már világos. További magyarázatok csak összezavarnának. (Valami ilyesmit vettem ki a linkelt videóból is, de lehet, hogy félreértettem, és abban kissé máshogy magyarázta a szimpatikus úr. Azért voltam bátor feltételezni, hogy itten pontokkal és ponthalmazokkal operálnak a bácsik, nem testekkel, alias téridomokkal.)
jó poszt , izgalmas téma, köszi
ez a topológikus csoportok elmélete nem?
mi ehhez jó bevezető könyv, szívesen beleolvasnék
nem, ezek diszkrét csoportok. igazából csak magát a cikket ajánlhatom
arxiv.org/abs/2009.06721
OFF tavaly volt három konferencia zsinórban erről a témáról, warwick, drezda, luminy, annyira szuper volt, és utána még két hét lausanne, nagyon jó év volt, annyira jó, mint amennyre egy fos volt ez az év. warwickban adták elő először, emlékszem utána beszélgettünk róla a lunchnél, mindenki ott volt kivéve jacksont, de jackson meg luminyben volt ott. kurvára utálom a koronavírust, nem tudom, mondtam-e már.
@jotunder: De fura, hogy ezt mondod. Én pont azt látom, hogy hirtelen egy csomó ember rájött arra, hogy a technológia fejlődés mai fokán nem is kell feltétlenül elutazni random távoli helyekre ahhoz, hogy érdekes és okos embereket meghallgassunk.
@GHermann: és sörözni is tudunk velük?
@látjátok feleim szümtükkel:
Közbekotyog a nyelvész: a fazekat be lehet kapcsolni? 🙂
@jotunder: Persze. Mi akadálya lenne?
@GHermann: mi akadálya? ezerötszáz kilométer? 🙁
@jotunder: Úgyse ugyanabból a korsóból innátok… (Eszembe jutott az a randis vicc, melyben a főhős háromszor is elment, a hölgy pedig el se jött. Bocs! Ha nagyon malac, akkor kérem a törlését.)
@Igéző: vagy a Charles Stross-tól a Laundry files univerzuma…
en.wikipedia.org/wiki/The_Laundry_Files
erősen javasolt 🙂
@aronsatie: A nyári meleg miatt nem lehet kapni, a reklámban ezt mondták! 🙂
Én Pocket Coffee-t kerestem már egy ideje
@Sanko13: Nyers húst lehet még kapni a nyári melegben? Most már mindegy, más csokifélét vittem és kész.
@deckard_r: Köszi az ajánlót! Az openlibrary.org-on (az archive.org szolgáltatása, amit a wayback machine-ként ismerünk) vannak kikölcsönözhető példányok belenézni. Olvasásra (14 napos kölcsönzés, nem csak 1 órás) nem láttam, de nem néztem végig mindent. Nekem szimpi, szerintem begyűjtöm.
@mafi mushkila: amúgy amazonon e-book-ként nincs 4 USD se
Olvasom, hogy a főkén az Arakelov-geometria terén tevékenykedő, korábbi kétszeres nemzetközi diákolimpia-győztes Nicosur Dan lehet Bukarest új főpolgármestere.
http://www.politico.eu/article/nicusor-dan-mathematician-to-become-bucharest-romania-mayor/
@Grrr: kétszer lett száz százalékos pontszáma, ami azért nagyon ritka. abbahagyta a matematikát. amiről eszembe jut, hogy suren arakelov is abbahagyta. ő fields medálos lehetett volna, safarevics tanítvány. és a szovjet rezsim kicsinálta.