Kockák avagy az Igazság Performansz
Eredeti szerző: jotunder
Domokos Gábor professzor hosszabb interjút adott a Qubitnak a felfedezéséről, hogy a testek kockaszerű darabokra esnek szét.
Egy részlet az interjúból:
„Itt a Műegyetem kertjében, ahol ülünk, zúzott kő van a lábunk alatt. Ha felmarkolunk egy adagot ezekből a kövekből, látjuk, hogy vannak éleik, lapjaik, csúcsaik, ezeket meg is lehet számolni. Az állításunk, hogy ha elég sokat markolunk föl, és kiszámoljuk ezen számok átlagát, akkor az pont a kockának fog megfelelni: átlagosan 6 lap, 8 csúcs és 12 él lesz. Az az érdekes, hogy ez mindig is így volt, és mindenütt így van, más bolygókon is. A Marson lévő töredezett köveket már konkrétan is vizsgáltuk, teljesen megegyeznek a Földön látottakkal, de a Bennu aszteroidán is hasonló formákat találtak. Természetesen próbáltuk meg is magyarázni, hogy miért történik így, de maga a jelenség rendkívül egyszerű.”
A cikkben nem bizonyították be ezt az állítást, hanem egy számítógépes szimulációt alkalmaztak, és az eredmény nagyjából az lett, amit vártak. Konkrétan azt csinálták, hogy véletlenül felvettek ötven pontot egy kockában, majd a pontokon keresztül véletlen síkokat fektettek és megnézték, hogy milyen darabokra vágják a kockát a síkok. Ekkor vették észre, hogy átlagosan 6 lapjuk lesz, 8 csúcsuk és 12 élük. Akárcsak a Bennu aszteroidán. Nem, nem magyarázták meg. Észrevették, hogy ez közelítőleg így van, és azt mondták, hogyha sokkal több síkot vennének fel, akkor még pontosabban lenne így, mert miért lenne másképp.
Az alábbiakban nem a saját bizonyításom közlöm, de ez annyira egyszerű, hogy egy gimnazista is rájöhet. Ez nem szimuláció, nem sejtés, nem bizonygatás, hanem egy aránylag egyszerű teljes bizonyítás.
Nincs én nekem semmi bajom Domokosékkal, ők nem részei a történetnek. De ezen a napon, amikor a hazugság normává válik, amikor az igazság már politikai terméknek sem alkalmas, amikor a vita szavak véletlen egymás mellé helyezését és fenyegetőzést jelent, szeretnék leírni egy darab igazságot a Vincentre. Ez csak egy igazság-performansz.
……
Azt fogjuk belátni, hogyha nagyon sok síkkal vágnánk szét a kockát, akkor nagy valószínűséggel már nagyon közel lenne az átlagos lapszám a 6-hoz, az átlagos élszám a 12-höz, az átlagos csúcsszám a 8-hoz. Ez az az állítás, ami valójában nincs bebizonyítva Domokosék cikkében, csak állítják, hogy ennek így kell lennie.
1. A valóságos véletlenség nem is olyan nagyon fontos. Az a lényeg, hogy elég véletlenszerű legyen a szétvágás, ami persze a Domokosék véletlen csúcs, véletlen sík modelljében teljesül, de abban a modellben valójában sokkal többet is lehet mondani, ha pontosan látnák, hogy mit is approximál a modelljük (az ún. Poisson Plane Tesselationt, amiről rengeteget írtak már a világban).
2. Tegyük fel, hogy n sík elég véletlenül szétvágja a kockát t darabra. Legyenek a darabok csúcsszáma (A_1, A_2,dots A_t).
3. A véletlenszerűség miatt a keletkező csúcsoknak csak egy jelentéktelen része lesz a kocka határán. A darabok nagy része nem érintkezik a határral. Ugyancsak a véletlenszerűség miatt ezeknek a belső daraboknak mindig lesz egy legalsó pontja. És minden belső csúcs pontosan egy darabnak lesz a legalsó pontja. Az is igaz, hogy minden ilyen csúcson három darab sík fog átmenni. Ergo, minden ilyen csúcs nyolc darabhoz fog tartozni.
4. Tehát, ( sum_{i=1}^t A_i ) jó közelítéssel 8T-vel egyenlő. Ergo, az átlagos csúcsszám valóban nagyon közel van 8-hoz. Ezt már meg is kaptuk.
5. Egy adott darabban, minden csúcsból három él fut ki (hiszen minden belső csúcsban három sík metszi egymást, lokálisan ez úgy néz ki, mint a kockában, csak a szögek különböznek), az élek száma nagyjából 12T lesz. Ergo, az átlagos élszám nagyon közel lesz a 12-höz.
6. Euler tétele szerint konvex testekre (és a darabok azok) igaz, hogy a csúcsok száma mínusz az élek száma plusz a lapok száma egyenlő 2-vel. Ergo, nagyjából 6T lapja van a kockáknak, tehát az átlagos lapszám közel van a 6-hoz.
Ennyi.
<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16518007-6ae5058d5a9ab' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16518007&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16518007-6ae5058d5a9ab&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16518007-6ae5058d5a9ab' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>
Egy újszülöttnek minden vicc új. Nincs ez másként a matematikában sem. Aki az eddigi felalmozott tudást csak felületesen karcopja, annak mindig lehet újat mondani, amit meg sem kell magyarázni, mert a nerben áldott így is hívek hisznek.
” az átlagos lapszám a 8-hoz.”
csúcsszám
” Ergo, az átlagos csúcsszám nagyon közel lesz a 12-höz. ” Elszam.
@fáskerti elvtárs: @KennyOMG: javítottam, kösz
Nekem inkább úgy tűnik, hogy ez azt bizonyítja, hogy az univerzumban lévő, síkokkal határolt testek kockává (kockákká) állíthatók össze, s mivel gyakorlatilag bármekkora 3D-s alakzatokat be tudunk burkolni sík felületekkel, az univerzumot végső soron össze tudnánk legózni minimum téglatestté.
@kiskii: pontosan le van írva, mi az igazság. ha egy kockát feldarabolnak véletlenszerűen, akkor kombinatorikai értelemben sokféle test keletkezik a csúcs, él és lap átlagok fognak konvergálni és pont a kocka csúcsszámához, élszámához, lapszámához. de ez nem jelenti azt, hogy a darabok nagyon nagy része kocka lesz.
@jotunder: nem írtam olyat hogy a darabok kockák lesznek.
Szerintem elég meggyőző a poszt. Akkor viszont mit gondoljunk erről?
The team published their research findings in an article in one of the most prestigious scientific journals, PNAS, a publication of the National Academy of Sciences of the United States of America.
@Bogomil: Azt gondoljuk, hogy nem matematikusok bírálták és nem szúrták ki, hogy egy (kvázi) triviális állítást nem tudtak belátni, ehelyett szimulációval bohóckodtak.
@Bogomil: bonyesz. azért abban a cikkben más is volt. de mintha az a más sem lenne olyan nagyon bonyolult matematikailag.
@kiskii: akkor nem értem.
@Igéző:
No igen, az áltag ember tudja, hogy van triviális pi, el is játszik vele, de leszarja, hogy ő most éppen szimulációzik.
Jotunder megint átment matematikusba, és úgy gondolja, ha egy tudós nem mindenki számára érthetően nyilatkozik, akkor összedől a világ. Pedig nem.
Szakterületén ( építészet) nagyon tud, és gondolom ezért vette kézbe azt a marék zúzott követ. Én sem a kőhöz, sem az Euler tételehez nem értek, pedig utóbbit megpróbálta néhai matektanárom a fejebe rakni, tartósra nem sikerült neki ), de ettől nagyon jól elvagyok.
Mellesleg sok tudós felvette már azt a marék követ, elég csak az Ősi idegenek című filmsorozatot figyelemmel kísérni.
Majd az idő eldönti kinek és miben volt, van, lesz igaza.
Én azért ezt nem szakmabelieknek szájbarágósabban írnám le. 🙂 Bár tény, hogy úgy vizuálisan kevésbé látszana a gondolatmenet egyszerűsége.
@Igéző: Nem egészen értem, mire gondolsz. Ha feladnák az állítás bizonyítását feladatként egy csapat nagyon jó képességű tizedikesnek, egy csomóan megoldanák. A cikk szerzői nem oldották meg, ez iszonyatosan ciki.
@vgab: „Ha feladnák az állítás bizonyítását feladatként egy csapat nagyon jó képességű tizedikesnek, egy csomóan megoldanák.”
Ez túlzás. De akkor is ciki.
@combo: Nem szakmabelinek azt javasolnám, hogy nézze meg két dimenzióban, vagyis négyzetet daraboljon egyenesekkel úgy, hogy lehetőleg semelyik három ne menjen át egy ponton és ne legyen köztük a négyzet oldalaival párhuzamos. Nagyon szépen látszik, hogy minden belső csúcs egy sokszögnek lesz az alján és minden belső csúcs 4 sokszögben van benne, meg az is, hogy minden belső csúcsra 4 él illeszkedik. Mivel a síkon vagyunk, igazából itt az egyik is elég ahhoz, hogy a sokszögek átlagos csúcsszáma 4-hez tartson.
@combo: Nem vagyok benne biztos, hogy túlzás. Ha kitűznék a Kömalban, lenne vagy 20 megoldás.
@vgab: Akkor először fogalmazd meg úgy a feladatot, hogy egy tizedikes megértse. 😛
Nekem már a Gömböc idején gyanús volt, hogy nagyobb a hype, mint a valódi eredetiség/jelentőség.
Számomra attól lesz triviális, amit Jótündér fontosnak tartott megjegyezni, hogy a véletlenszerűség miatt a keletkező csúcsoknak csak egy nagyon kis hányada lesz a kocka határán. Ilyenkor pedig két hatoldalú, tizenkétélű és nyolccsúcsú alakzat (téridom) keletkezik. További bizonyítás során kellene belátnunk, hogy a ritkán keletkező másmilyen téridomok további kettévágása után is több ilyen hexaedrális alakzat keletkezik, mint egyéb. Továbbá, ha kiinduló téridomunk mondjuk egy trapezoéder, vagy szkaleonéder, vagy tetraéderes pentagondodekaéder, uram bocsá’ egy burgonya, akkor is megkapjuk az eredményt. (Megkapjuk.)
@combo: A megfogalmazással kétségkívül van egy kis macera, de nem is kell _minden_ tizedikesnek megértenie. Ha akarod, módosítom az állítást elsőéves egyetemistára, de csak a feladat megfogalmazása miatt, a tényleges gondolatokhoz elég a tizedikes…
@vgab: Ez igaz. Engem tényleg érdekelne amúgy, hogy hányan oldanák meg, akár elsőéves egyetemisták. 🙂
Kicsit elkanyarodva, én sportszerűtlennek tartom, hogy már középiskolásoknak odadobják szakkörön a Sylvester-Gallai-tételt. Aztán a gyerek nem jön rá, elmondják neki, hogy „látod, milyen pofonegyszerű?”, amitől hülyének érzi magát. Holott… (Persze megfelelő előkészítés után fel lehet adni. De láttam már versenyen kitűzve is.)
A bizonyítás világos, de mi köze ennek ahhpz, hogy véletleszerűen felmarkolnak zúzott köveket? 🙂
Na, szóval az, hogy általános helyzetű síkokra igaz ez, az legalább egy ötlet, vagy csel, vagy mi. Nem hatalmas ötlet, és tényleg sok kömalos gimis is rájönne, de akkor is az.
De megy ez minden ötlet nélkül is sajnos. Ha valakit érdekel, ideírom, hogyan.
Akkor ciki ez a történet a számomra, ha a cikk azt állítja, hogy matematikai cikk is (nemcsak geológiai). De akkor elég ciki.
@Strawdog: Azért ha van egy matematikai állítás egy cikkben (pláne ha nem tudjuk bebizonyítani), érdemes megnézetni matematikussal.
Az a kérdés, hogy volt e benne matematikai állítás. Nem olyan, ami matematikailag is értelmezhető és megoldható, hanem ami azt állítja magáról, hogy matematikai állítás. Te olvastad a cikket?
@vgab:
Domokos matematikus is egyes róla szóló írások szerint, de első sorban építész. Gondolom ezért markolássza a zúzott követ, amelynek az oldalai, élei véletlenszerűen alakultak a zúzás során.
@Strawdog:
Ne idegeskedj, biztosan volt, mert különben nem lenne poszt.
Nem idegeskedem, számomra inkább mulattató az egész. Nem biztos, hogy volt. Mondom, nem ugyanaz, hogy az ember olvas egy matematikailag értelmezhető állítást, amit meg tud csinálni, meg hogy egy matek cikkben talál ilyet.
Az Euler tételből az egész két sor, és emiatt fel lehetne adni bármilyen gyakorlaton is, ahol már tanulták az Euler tételt. Nem kell hozzá KÖMAL szint sem.
@Igéző: Olyan feynmanni vagányság? Akkor annyiból lehet, hogy egy egész kicsit értem…
Már korábban is leírtam nektek. Az anyagok csak egy nagyon kis része alkalmas a tökéletes hasadásra. A többi nem szabályosan, nem síkok mentén törik. Az is könnyen belátható, hogy ha nem tökéletes sík választja ketté, akkor (legalább) az egyik elem következetesen konkáv lesz. Mindig.
Matematikailag helytálló (lehet) a kutatás, a való élethez nem sok köze.
@mafi mushkila: Feynman, egy n-el. Persze lehet kettővel is, de a második akkor néma. 🙂
@HaCS:
„Konkrétan azt csinálták, hogy véletlenül felvettek ötven pontot egy kockában, majd a pontokon keresztül véletlen síkokat fektettek és megnézték, hogy milyen darabokra vágják a kockát a síkok.”
Szóval ők kockával csinálták, nem is tudom, hogy ebből milyen következtetést akartak levonni a valódi anyagra. Merthogy az idézett cikkben ez áll:
„Ha felmarkolunk egy adagot ezekből a kövekből, látjuk, hogy vannak éleik, lapjaik, csúcsaik, ezeket meg is lehet számolni. Az állításunk, hogy ha elég sokat markolunk föl, és kiszámoljuk ezen számok átlagát, akkor az pont a kockának fog megfelelni: átlagosan 6 lap, 8 csúcs és 12 él lesz.”
Ezt nem tudom értelmezni. Zúzott kődarabok mindegyikének nagy valószínűséggel 6-nál több lapja, 8-nál több csúcsa és 12-nél több éle lesz. Ebből nem jöhet ki a mondott átlag. (Most tegyük fel, hogy sík mentén hasadt a zúzalék.)
@ikaruss:
Nem itt van a csalás, hanem a mérettartományban a mintavételnél. A zúzottkőnél pl. a zúzalék a végtermék, pár centis a célméret. Ahhoz, hogy ezt elérjék, azonban a maradék, selejt, azaz a leőrölt apró darabok, a por 3-4 nagyságrenddel kisebb szemcseméretben (és ettől függően jóval nagyobb számban) van jelen. Ha a mintavételnél a célméretből veszünk mintát (a legnagyobb, és ezáltal legritkább darabokból) és azt csak a saját mérettartományában vizsgáljuk, akkor lehet, hogy konvexnek tűnik. Azonban 1000*-es nagyításban már szó sincs ilyesmiről. És megnyugtatlak, hogy megközelítőleg sem 6 lap, 8 csúcs, 12 él lesz a számolás vége, ha véget ér valaha. Ami érdes, az nem konvex. Ami simának tűnik, általában az sem az.
A való életbeli közelítéshez az őrlési végeredmény legkisebb mérettartományából kellene mintát venni. Vagy mondjuk a mediánból. Csak akkor bizony már a saját méretében ránézve is ritkán találsz köztük konvex elemet.
@HaCS: Ezt készséggel elhiszem neked. Az a helyzet, hogy a matematikai modellt SEM bizonyították be. Azt megtette fent JT, vagy másképp is megy, sima Euler tétellel.
Ha viszont nem síkok mentén hasad végig a cucc, akkor egyszerűen nem igaz a tétel. Egy másik tétel lesz igaz, más várható értékkel, a pontos modelltől függően. Szóval még a meta-állításuk sem igaz ebben az esetben.
Ha anyagtanilag sem releváns a cikk, és matematikailag sem, akkor milyen szempontból releváns?
Talán arra jó, hogy mi itt jólesően levelezzünk róla. Az is valami.
@HaCS: Ez nekem is eszembe jutott. Még ha a konvex alapmodellt nézed, ami nem tetszik neked, akkor sem igaz, hogy ha kiszórod a kicsi homokot, akkor jó lesz a helyzet. Ugyanis a nagy darabok szeretnek topologikusan bonyolultabbak lenni, várható értékben is. Ergo, a kicsik szeretnek egyszerűek lenni.
Itt van egy szép, de anyagtudományban valószínűleg nem annyira releváns tétel: ha kondicionálod a darabot arra, hogy nagyon nagy legyen, akkor elkezd a körre (gömbre) hasonlítani. Ezt nem egyszerű belátni, és olyan kicsi a valószínűsége, hogy alkalmazásbeli jelentősége sincs vsz, kivéve ha pont ez érdekel.
@ikaruss: hanyatlom! már nem szabad fejből írni dolgokat
@jotunder: Tételezzük fel, hogy ha egy kockát síkokkal végtelen számú darabra osztasz, akkor a darabok csúcs-, oldal-, élszáma a poszt szerint alakul.
Ez esetben viszont ha az univerzumot végtelen számú, de a fenti csúcs-él-oldal átlagszámú darabra metéled, abból összeállíthatsz egy kockát.
@jotunder: kedves JT! Ami ebben engem zavar (már a cikkben is zavart, hogy ha jól értem a kiinduló testet minden egyes sik teljes egészében metszi. A valóságban viszont ha már a kiinduló szikla egy sík mentén kettéhasadt, jó esély van rá, hogy a következő hasadás (amennyiben metszi a szikán belül az első síkot, akkor nem hasad végig, csak a szikla egyik fele fog ketté hasadni, tehát két hasítás után nem négy, hanem három darabunk lesz. És hasonlóképp, amikor már n hasadás van a kőben, semmi nem valószínűsíti, hogy következő hasadás teljes mértékben egy sík mentén hasítja az eredeti idomot, jó eséllyel csak egy vagy néhány korábban létrejött rész hasad ketté.
Hogy változtatja meg ez a végeredményt?
@kiskii: én ezt nem igazán értem. nincs arról szó, hogy végtelen sok darabra osztom a kockát. ha végtelen sok random pontot veszek a kockában és mindegyiken egy véletlen síkot, akkor bármely két pontra igaz lesz,hogy az egyik sík el fogja őket választani egymástól, tehát nem lesznek „darabok”. véges sok síkunk van, nagyon nagyon sok, de véges sok.
Azt hiszem, most nem látjátok s fától az erdőt. A lényeg, hogy murva. Honnan van?
@jan: hát, Természetanyánk a csillagteknős képében már valóban évmilliókkal korábban megalkotta.
@ámbátor: Teljesen megváltoztatja. Akkor is egyszerűen kijön, hogy mi a várható érték, de nem egyezik meg a kocka adataival.
Síkban olyan lesz a statisztika, mintha hatszögrács lenne (méhkaptár). Persze csak a statisztika, nem úgy néz ki szemre.
A síkbeli esetről van is szó a cikkben.
Csak apró közbevetés: miért pont kockát kezdünk el vágni? A kövek formája miért kockából indul ki? Miért nem gömböt darabolunk vagy tetraédert?
@vgab: @Strawdog:
szerintem nagyon kevés gimnazista érti, hogy mi is az a valószínűség.
én pl. tuti, hogy ennek a bizonyításnak egy szavát sem hittem volna gimiben (leszámítva az euler-tételt, persze).
@Online Távmunkás:
a fenti bizonyítás szempontjából mindegy, hogy gömb, kocka vagy tetraéder. csak az kell, hogy a felszínt el lehessen hanyagolni. ez működik pl. bármilyen konvex testtel ha elég sok sík van
@Online Távmunkás:
persze az előbbi állításban ignoráltam a felszínen lévő esetleges csúcsokat/éleket — szóval még az is kell, hogy csak véges sok csúcs legyen a test felszínén.
gömbnél nem tudom, hogy definiálják a dolgokat, de véges politópokkal (mint pl. tetraéder) semmi probléma nem lesz.
@ikaruss:
Ha a követ az orbánista bányából zúzták ki, akkor nyugodtan feltehetjük.;D
@HaCS:
Te csak ne vegyél ekkora, meg akkora méretű mintát. Az érintett zúzott kőnek adott mérete volt. Abból vett az okos építész egy maréknyit, és arról tudóskodott. Erről lehet értekezni, másról minek?
@emhem: Talán ezt elhitted volna gimiben is. Nem kell hozzá véletlen sem.
Síkban írom le. Térben hasonlóan megy, eggyel több változóval. Vegyünk egy négyzetet (vagy lényegében bármit) és vágjuk fel jó sok egyenessel. Így kapunk egy bonyolult parkettázást. Nem kell, hogy véletlenek vagy függetlenek legyenek az egyenesek, csak az, hogy három egyenes ne menjen át egy ponton (általános helyzetűek).
Tegyük fel, hogy elég alaposan összedaraboltuk, és a széle már aszimptotikusan nem számít, azaz a legtöbb parkettadarab már teljesen belül van. Foglalkozzunk csak a belsejével. Ez okozza majd azt, hogy csak közel lesz az eredmény az ideálishoz, de ahogy egyre több darabra vágjuk, a hiba elhanyagolódik.
Legyen a parkettázásban:
C – csúcsok száma
E – élek száma
L – lapok száma (a lap ugyanaz mint a parketta, de hagyományosan így hívjuk)
M – a lapokra összeadjuk a csúcsaik számát
Az M / L hányados érdekel minket, ez adja meg, hogy átlagosan egy parkettának hány csúcsa van.
Minden csúcson pontosan négy él megy át, mert minden csúcs két egymást átmetsző egyenesből születik, és minden él pontosan két lapot határol. Ezek azért igazak, mert csak a belsejét nézzük.
Ezért 2*E = M, és 4*C = M. Tehát E = 2*C.
Az Euler tétel miatt C – E + L = 1. Az 1 nem számít aszimptotikusan, mert L tart végtelenhez.
Tehát aszimptotikusan L = E – C = C. Vagyis egy véletlen lapra a csúcsok számának várható értéke
M / L = M / C = 4.
Ebben az egészben nincs ötlet, ez sima matekos rutin, kb egy lineáris egyenletrendszer megoldásának a szintje. Bármilyen gyakorlaton fel lehet adni bátran, ha már tanulták az Euler tételt. Ha kicsit hajlandóak vagyuk gondolkodni is, akkor rögtön látszik, hogy L = C, mert egy véletlen szögből nézve az egész parkettázást, minden lapnak van egy legalsó csúcsa és minden (belső) csúcs a legalja egy lapnak, ahogy JT írta.
Valaki kérdezte, hogy fontos e hogy egy nagy négyzettel vagy kockával kezdünk. Nem fontos. Lényegében bármit elkezdhetünk szeletelni, ez lesz a vége.
Ha már itt tartunk, a síkbeli Euler tétel sem valami bonyolult dolog ám, de van benne szép ötlet. Vedd a parkettázást, fogd fel úgy, mint egy tórendszert. Kezdd el egyesíteni a tavakat úgy, hogy egyesével elhagysz olyan gátakat (éleket) amik két különböző tavat határolnak. C – E + L nem változik ettől. A végén lesz egy nagy tó, és a maradék élek egy összefüggő, körmentes gátrendszert alkotnak. Erről könnyű látni, hogy teljesül rá a C – E + L = 1. Ezt rátok hagyom, de hasonló felszámolásos trükk.
Ez mind szép és kedves matek, de nagyon elemi. Messze-messze nem PNAS szintű, nincs egyetlen matematikai újság sem, ami ezt így elfogadná közlésre. Pedig van köztük olyan, ami századannyira sem jó, mint a PNAS.
Ezért ha ez nem számít matek cikknek, akkor miért ne, ha igen, akkor bizony ciki..