A Heti Válasz esete a számtani sorozatokkal avagy a csodák természete

Eredeti szerző: jotunder

       A Heti Válasz online-ban megjelent egy interjú Szemerédi Endrével.

       „Gondoljon egy nagy számra, majd ellenségesen, akármilyen rosszindulatúan vegye a választott szám egyezredét. Ha ez megvan, én odamegyek, és találok a kettő között egy négytagú számtani sorozatot” – kezdett bele találkozásunkkor Szemerédi Endre matematikus, mi is az a terület, amely több évtizedes vizsgálatának tárgya.

       Legyen a nagy szám az egymillió. Annak rosszindulatúan vett egyezrede megegyezik a jóindulatúan vett egyezredével, az ezerrel. Az egymillió és az ezer között pedig valóban van négytagú számtani sorozat, t.i. 1001, 1002, 1003, 1004.  Ehhez nem feltétlenül kell több évtizedes vizsgálat, és nem biztos, hogy Abel-díjat adnak érte. Az újságíró, aki esztétika szakon végzett a Pázmányon egyetlen szót nem értett meg abból, amit Szemerédi Endre mondott neki. Azért nem értette meg, mert meg sem próbálta megérteni,  ugyanis gyermekkora óta rettenetesen zavarják a számok. Az emberek nagy részét zavarják a számok, van akit a kotta és a háromnegyedes ütem zavar, másokat az idegen nyelvek, megint másokat a nonfiguratív festészet.  Ez teljesen természetes dolog, de aki az andragógia szakra jelentkezőket át akarja terelni fizika szakra, az akár el is gondolkozhatna ezen, már ha életében gondolkozott bármin, mielőtt megszavaztatta volna azok kétharmadával, akik éppen az orra előtt ültek. 

      Szemerédi Endre azt próbálta elmagyarázni az újságírónak, hogyha X vesz egy nagyon nagy számot és Y kiválasztja az ennél a számnál kisebb pozitív egész számok egyezredét, akkor a kiválasztott számok között lesz egy négytagú számtani sorozat. A rosszindulatúan jelző arra utal, hogy elkerülhetetlen a négytagú számtani sorozat létezése, ha Y a feje tetejére áll, akkor is ott lesz az a sorozat, feltéve, hogy X valóban elég nagy számot választott.

     A poszt most kezdődik… Ez igazából az én esetem a számtani sorozatokkal, nem a Heti Válaszé. 

   Ha a világ olyan unalmas lenne, mint általában szokott lenni, akkor nem Szemerédi Endre bizonyítja be elsőként a fenti tételt, hanem egy Hillel Fürstenberg nevű izraeli matematikus.

A kombinatorikának volt egy másik legendás problémája, ami a megtámadhatatlan hálózatokról (expanderekről) szólt. A feladat a következő volt. Konstruáljunk meg egyre nagyobb véges, összefüggő hálózatokat, amelyben minden csúcs pontosan három másik csúccsal van összekötve, és teljesül a következő feltétel: akárhogy is választom ki a csúcsok legfeljebb felét, azon csúcsok száma, amiket kitörölve a kiválasztott csúcsokat el tudom választani a többi csúcstól, legalább a kiválasztott csúcsok egytizede. Tehát, ha ez egy számítógépes hálózat, amit terroristák akarnak megtámadni, akkor egy nagyobb részét csak igen költségesen tudják elszigetelni. 

A következő igaz: ha én véletlenül választok ki egy nagy hálózatot, ami teljesíti a csúcspontokra vonatkozó feltételt, akkor nagyon valószínű, hogy teljesíti a megtámadhatatlansági feltételt is. Ennek ellenére a kombinatorikusok nem tudták a megtámadhatatlan hálózatok konkrét sorozatát megkonstruálni. Ekkor egy Margulis nevű matematikus egy nagyon rövid, reprezentációelméleti érveléssel, gyakorlatilag egy oldalon megmutatta, hogyan kell ilyen hálózatokat konstruálni. Azt mondta a kombinatorikusoknak, hogy vegyenek Kazhdan T tulajdonságú, reziduálisan véges csoportokat, és vegyék a véges faktorainak Cayley-gráfját. És kész. A kombinatorikusok nagyjából ugyanolyan arcot vágtak, mint most a kedves Olvasó. Utólag belegondolva, mégis ez volt a dolgok szokott, unalmas menete. Ennek így kellett történnie, ezek az expanderek valahogy nagyon mélyen kapcsolódnak ehhez a furcsa Kazhdan-tulajdonsághoz.

Az égitestekről van szó…. A kedves Olvasó, most arra gondol, hogy már túl sok tojáslikőrt fogyasztottam, de ez közönséges rágalom. Valóban az égitestekről van szó. Vannak ezek a bolygók a Nap körül, hol itt, hol ott. Már elég régen észrevették, hogy a különböző égi együttállások ismétlődnek. Ezt az észrevételt egy Poincaré nevű matematikus formalizálta. Arról van szó, hogy ha én kódolni akarom az égitestek helyzetét, akkor a legegyszerűbb ezt úgy megtenni, hogy mindegyiknek leírom a pontos helyét és sebességvektorát egy adott koordináta-rendszerben. Így egy sokdimenziós tér egy pontját kapom. Az égitestek mozgása pedig úgy szemléltethető, hogy ebben a sokdimenziós térben ez az egy darab pont bolyong. Ez az egy darab pont az összes nagyobb égitest pillanatnyi állapotát kódolja. Poincaré észrevette, hogy van ebben a furcsa térben egy időben nem változó térfogatfogalom. Ez azt jelenti, hogy ha én veszem a lehetséges bolygóállapotoknak egy nagyobb darabját, akkor ennek a darabnak az alakja lényegesen meg fog változni az időben, de a térfogata nem. Poincaré elkezdte vizsgálni az összes olyan, értelmes rendszert, amelyekben van ilyen, összességében véges, megmaradó térfogatfogalom. Például, ha vesz az ember egy kört, és a térfogat az ívhossz, akkor a forgatás egy ilyen rendszert ad.

Poincaré azt bizonyította be, hogy ha az ember vesz egy pozitív térfogatú halmazt egy ilyen véges térben, és megfigyeli a pontjainak vándorlását, akkor egy elhanyagolható (nulla térfogatú) részhalmaztól eltekintve minden egyes pont végtelen sokszor vissza fog térni a halmazba. Ez nagyjából olyasmit mond ki, hogyha megfigyelünk egy égi konfigurációt, akkor azt még végtelen sokszor fogjuk megfigyelni.

Hillel Fürstenberg Poincaré tételének egy mély általánosítását bizonyította be, amelyből a számtani sorozatokra vonatkozó tétel szinte azonnal következik. A tételt úgy bizonyította be, hogy észrevette, hogy a nagyon szabályos(kompakt) és a nagyon szabálytalan (gyengén keverő) rendszerekre ez az állítás igaz, és minden rendszer felírható szabályos és szabálytalan rendszerek sajátos kombinációjaként (ez a Fürstenberg-Zimmer bővítési tétel). Ez utóbbi tétel valóban rendet jelent a káoszban, és filozófiai értelemben borzasztóan hasonlít arra, amit Szemerédi csinált.

Az lett volna a világ szabályos és unalmas menete, hogy Fürstenberg szépen megcsinálja a tételt, és aztán Szemerédi rájön arra, hogy a bizonyítást hogyan lehet lefordítani a diszkrét matematika nyelvére. És nem ez történt. Szemerédi egy olyan bizonyítást fordított le a diszkrét matematika nyelvére, ami nem is létezett. Nem is ismerte a dinamikus rendszereket, a kompakt és gyengén keverő bővítéseket, egyszerűen magától kitalálta az egészet. Ezt hívják csodának a teológiában. A tudományról sokan azt gondolják, hogy el akarja törölni a csodákat, hogy varázstalanítani akarja a világot, hogy mechanizálni akarja a lelket és el akarja pusztítani Istent. És ez nem így van.  A tudomány, mint olyan, nem is létezik: valójában okosan leélt emberi életekről van szó, amelyekben ugyanúgy megtörténhetnek a csodák, mint kétezeregynéhány évvel ezelőtt Betlehemben. 

<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16520446-6ab24c4fc5407' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16520446&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16520446-6ab24c4fc5407&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16520446-6ab24c4fc5407' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>