Játék a végtelennel avagy a kurvaanyját a koronavírusnak

Eredeti szerző: jotunder

       

        Az elmúlt napokat kvázikaranténban töltöttem ( kétszer lementem a kisboltba és tegnap vettem ezt a barbadosi cuccot, amiből a poszt megírása alatt elfogy féldeci ) és Királyhegyi Pállal szólva, most ment el teljesen a kedvem a koronavírustól. 

        Ami most jön, az egy filozófiai példabeszéd: Néha bonyolultan hangzó trivialitások állnak az egyszerűen hangzó nehéz állítások mögött. 

        Az egyszerűen hangzó és elég rafkós állítás az, hogy bárhogyan színezzük ki a természetes számokat véges sok színnel, lesz egy olyan színosztály, ami tartalmaz végtelen sok olyan elemet, amelyek tetszőleges véges részösszege is benne van a színosztályban.  Ez a Hindman-tétel. És most tiltakozásul a koronavírus, orbánviktor és még pár dolog ellen, leírom ide a híres idempotens-ultrafilteres bizonyítását a Hindman-tételnek. Mostanában folyamatosan ezekkel az izékkel foglalkozom, és ezt az alkalmazást nem bírtam otthagyni, annyira kis csinos.

       Nyugi, mostantól majd írom a jó kis orbánozós, koronavírusozós posztokat (vagy nem). 

       1.   A bonyolultan hangzó állítás az Ellis-Numakura Lemma. Az  Ellis-Numakura Lemma azt mondja ki, hogy minden olyan kompakt félcsoportban, amelyben a balról szorzások folytonosak, van idempotens elem, azaz létezik egy p elem, amire p=pp. 

       2.   A bizonyítás teljesen triviális. A Zorn-lemma szerint van a kompakt félcsoportunkban egy M kompakt részfélcsoport, ami minimális, tehát nem tartalmaz valódi részhalmazként kompakt részfélcsoportot.  Vegyük ennek az M részfélcsoportnak egy p elemét. És tekintsük a pM halmazt. Ez egy kompakt részfélcsoport, tehát a minimalitás miatt pM=M. Azaz, létezik olyan q, amelyre pq=p.  Vegyük most azon q elemek N halmazát M-ben, amelyre pq=p. N nyilván kompakt és nyilván félcsoport, tehat egyenlő M-mel. Azaz p az N-ben van, tehát pp=p.

      3.  Vegyük a természetes számok Cech-Stone kompaktifikációját. Az egy félcsoport.  Nem csoport, de fél. Fogod az X ultrafiltert és az Y ultrafiltert és a szorzatuk úgy van definiálva, hogy egy A részhalmaz akkor van benne XY-ben, ha Y-sok eltoltja X-beli. Elég creepy, de ez tényleg félcsoport és a folytonossági tulajdonság is megvan benne. 

      4.  Tehát az Ellis-Numakura Lemma szerint vannak idempotens ultrafilterek. Ezek tehát olyan ultrafilterek, hogy akkor van bennük egy részhalmaz, ha ultrasok eltoltjuk is benne van. 

      5.  A természetes számok egy részhalmaza Hindman-nagy, ha  van benne egy végtelen részhalmaz, aminek minden véges részösszege is benne van a halmazban. Állítás: egy idempotens ultrafilter minden egyes eleme Hindman-nagy. Ez pedig elég a Hindman-tételhez, hiszen ha véges sok színnel kiszínezzük a természetes számokat, akkor legalább az egyik színosztály a kedvenc ultrafilterünkben lesz.

      6.  Vegyük tehát az X idempotens ultrafiltert és ennek egy A elemét. Róla szeretnénk bebizonyítani, hogy Hindman-nagy. Legyen A halmaz duálisa az az A* halmaz, ami pont azokból az elemekből áll, akikkel eltolva A-t X-ben maradunk. Mivel X idempotens A* is benne van X-ben. Vegyük tehát A és A* metszetét. Ez egy végtelen halmaz (triviális módon idempotens ultrafilter nem lehet principális) vegyünk belőle egy x0 elemet. És most vegyük az A-x0 halmaz metszetét az A-val és nevezzük el A1-nek. Az idempotens tulajdonság miatt A1 is benne van az  ultrafilterben. 

      7. Most vegyük az A1 duálisának metszetét A1-gyel és vegyünk belőle egy x1 elemet, ami nagyobb, mint x0. És induktíve konstruáljuk meg az x0, x1,…. sorozatot. Könnyű látni, hogy minden véges kombinációjuk az A halmazban van. Tehát az  A halmaz Hindman-nagy. 

     Ha el nem basztam, ahogy az egyszeri székely favágó mondta volt…. Aránylag sok helyen van ez leírva, ha valakit érdekelnek a részletek. A barbadosi cucc jó. 

     

<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16518141-6ae20f7a0f9ee' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16518141&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16518141-6ae20f7a0f9ee&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16518141-6ae20f7a0f9ee' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>