Emlékezés egy nagyhatalomra

 Az ország amelyről szól van Magyarország. Az apropó egy cikk. 1947-ben írta Szőkefalvi-Nagy Béla. Nemrég találtam rá az eredményre, kerestem könyvtárban és a neten. Hiába. Végül egy japán cikk alapján sikerült rekonstruálnom. Ennek örömére írtam a posztot.

A kvantummechanika matematikai alapjait a huszonnégy éves Neumann János rakta le. A csodálatos új fizikai elmélethez egy csodálatos új tudományra a Hilbert terek lineáris operátorainak tudományára, azaz a funkcionálanalizisre és az operátorelméletre volt szükség. Ezen az új matematikai területen ez a kicsi ország nagyhatalommá vált. Riesz, von Neumann, Haar és Szőkefalvi-Nagy nagyjából azt az erőt képviselték mint pár év múlva Kocsis, Puskás, Bozsik és Czibor egy másik művészeti ágban.

Emlékül álljon itt Szőkefalvi-Nagy Béla tétele.

Egy Hilbert tér T korlátos operátora akkor és csak akkor hasonló egy unitér operátorhoz, ha hatványai (pozitiv és negatív) egyenletesen korlátosak. Az egyenletes korlátosság szükségessége triviális, az elégségességhez viszont kell egy zseniális ötlet. Szőkefalvi-Nagy azt használta ki valójában, hogy az egész számok amenábilis csoportot alkotnak. Neumann óta tudjuk, hogy az egész számok csoportján létezik invariáns közép (lásd a Shavgulidze rejtélyt). Fogjunk meg egy x és egy y vektort sorban helyettesítsük be a T n-edik hatványába és vegyük a belső szorzatukat. Így minden x,y párra kapunk egy korlátos függvényt az egész számokon, amelynek vehetjük az invariáns közepét. Ez az érték, az invariáns közép egy új belső szorzatot definiál, amelyben az invariancia miatt a T operátor unitér. Innen már rutin számolásként adódik a tétel. Gyönyörű. Olyan mint amikor Bozsik előreiveli a labdát Puskásnak, aki azt kapásból berúgja a felső sarokba. Egy nagyhatalom gyönyörű emléke.

 

P.S El kellett telni pár évnek amíg Dye észrevette, hogy Szőkefalvi-Nagy valójában azt is bebizonyította, hogy minden amenábilis csoport összes reprezentációja hasonlít egy unitér reprezentációhoz, azaz unitarizálható. Azóta is próbálják bizonyítani, hogy ez a tulajdonság a diszkrét csoportokon belül pontosan az amenábilisokat jellemzi. Egy új párhuzamos elmélet indult el. A nyolcvanas években belátták, hogy a szabadcsoportokat tartalmazó csoportok nem ilyenek. Azt tudni kell, hogy Neumann János korában még az összes ismert nem-amenábilis csoport tartalmazott szabad részcsoportot, később találtak mindenféle szörnyet, azaz nem-amenábilis végesen generált torziócsoportot. Pár hónapja Epstein és Monod bebizonyították, hogy minden reziduálisan véges csoport aminek az első L2-Betti száma nem nulla nem-unitarizálható. Mivel Osin éppen most konstruált egy torziócsoportot aminek az első L2-Betti száma nem nulla, ez így együtt arra enged következtetni, hogy a Szőkefalvi-Nagy által sugallt különös unitarizációs tulajdonság esetleg valóban az amenabilitás új karakterizációját jelenti. Ez már egy másik korszak, más nagyhatalmak. Másik világ.

<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16516676-6969ddf9c99c3' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16516676&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16516676-6969ddf9c99c3&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16516676-6969ddf9c99c3' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>