Michel Talagrand kapta az Abel-díjat
Michel Talagrand francia matematikus kapta az Abel-díjat. Talagrand a modern valószínűségszámítás egyik legjelentősebb alakja. Talán a koncentrációs egyenlőtlensége a leghíresebb (1995-ben írta, 1952-es születésű). Nagyon nem vagyok valszámos, de amit én az életemben valszámból használtam az valamiféle koncentrációs egyenlőtlenség volt.
Miről van szó? Amit nagyon sokan ismernek az a nagy számok törvénye. Ha egy szabályos érmével elkezdünk dobálni, akkor nagyjából annyi fejet fogunk dobni, mint írást. Mit jelent ez? Képzeljük el a számegyenest és induljunk ki a nullából. Ha fejet dobunk egyet lépünk balra, ha írást egyet lépünk jobbra. Hol leszünk n dobás után? Tulajdonképpen akárhol lehetünk a [-n, n] intervallumon, de valójában óriási valószínűséggel nem leszünk messzebb a nullától mint 1000-szer négyzetgyök n (ez már az Azuma-Hoeffding). Tehát az érkezési pont (ez egy véletlen bolyongás) koncentrálódni fog egy nagyon kicsi intervallumra.
Egy másik érdekes és hihetetlennek tűnő koncentrációs jelenség az, hogy egy nagyon magas dimenziós gömbfelületre véletlenül ledobott pont nagy valószínűséggel nagyon közel lesz az egyenlítőhöz. Azaz a gömbfelület térfogata az egyenlítő környékére koncentrálódik.
Talagrand koncentrációs egyenlőtlensége a fentiek messzemenő általánosítása és végtelenül hasznos. Nagy ünnep a mai a valószínűségszámításnak (Varadhan kapott Abel-díjat valszámért 2007-ben).
<div class='sharedaddy sd-block sd-like jetpack-likes-widget-wrapper jetpack-likes-widget-unloaded' id='like-post-wrapper-192691293-16531308-6969ce68318e2' data-src='https://widgets.wp.com/likes/?ver=14.1#blog_id=192691293&post_id=16531308&origin=www.orulunkvincent.hu&obj_id=192691293-16531308-6969ce68318e2&n=1' data-name='like-post-frame-192691293-16531308-6969ce68318e2' data-title='Like or Reblog'><h3 class="sd-title">Like this:</h3><div class='likes-widget-placeholder post-likes-widget-placeholder' style='height: 55px;'><span class='button'><span>Like</span></span> <span class="loading">Loading...</span></div><span class='sd-text-color'></span><a class='sd-link-color'></a></div>
Valamit nem értek. Mondjuk n = egymillió esetén az 1000 szer négyzetgyök n az pont egymillió. Amit nem hiszek. Szóval valamit biztos nem értek jól. Kellene egy jótündér aki segít. 🙂
@fuhur: Én az ezret már ab ovo nem értem. Miért lenne itt egy decimális rendszerben kerek szám? Miért pont 1000?
Én azt se értem, hogy lehet egy felületnek térfogata. Jó, n dimenziós a tér, csak akkor ott hogy értelmezzük a felületet és a térfogatot? Nyilván a megfelelő képlettel ki lehet számolni, amiben van pí valamelyik hatványa, de akkor se értem, hogy lehet a felületnek térfogata. A gömbnek van sugara, felülete és térfogata külön-külön. És én úgy gondolom, hogy egyenlítője csak egy a középponton áthaladó tengely körül forgó gömbnek lehet. Álló gömbnek ott van az egyenlítője, ahol akarom, vagy nincs neki. Tehát nem értem, tanár úr kérem, nem akarok ilyen hülye maradni, Hilfe!
@nyulambator: Az 1000 nem valami fontos abszolut vilagkonstans,hanem a a „nagy konstans” idealjat reprezentalja Jotundernel. Az altalanos keplet az, hogy c-szer gyok n -nel nagyobb erteket (vagy hasonloan -c-szer gyok n -nel kisebbet) kevesebb valoszinuseggel kapsz, mint e^{-c^2/2}. Ez mar c=6-nal is kisebb esely, mint a teltalalatnal az otoslotton, szoval az 1000 eros overkill. Ez egyben valasz @fuhur:-nak is, szamolj c=6-tal, az mar n=1000000 is ertelmes eredmenyt ad. c=1000 csak sokkal nagyobb n eseten ad ertelmes eredmenyt (de a hibavaloszinuseg meg sokkal kisebb).
@vattablz: A terfogat (iskolai ertelemben) 3-dimenzios testek merteke a felulet meg 2-dimenzius mertek. Akarhany dimenzioban van mertek, es Jotunder e mertekre hasznalta kiterjesztoen a „terfogat” szot. Mellesleg: ha a gomb terfogatat nezed (nem a feluletenek merteket), akkor meg inkabb igaz, hogy kozel leszel az egyenlito hipersikjahoz. Es igen, az „egyenlitot” elobb tetszolegesen rogziteni kell, utana veszed a veletlen pontot, az lesz kozel nagy esellyel. Ha elobb veszed a veletlen pontot, akkor veheted az utana az egyenlitot ugy, hogy direkt azon legyen a pont, vagy direkt attol jo messze.
@pont7: Nem ezt nem értem. A gömbnek, mindegy, hány dimenziós, egy darab jellemző mértéke van, a sugara, ebből az összes többi jellemzője kiszámítható. Az egy dimenziós mértéke, a sugár, a két dimenziós a felület, három dimenziós a térfogat. Nevezzük a további dimenziós mértékeket is jobb híján térfogatnak, ilyenkor az n dimenziós térfogathoz rendelhető n-1 dimenziós mértéket nevezhetjük akár felületnek is. Ez ugye csak játék a szavakkal. De még mindig nem értem, hogy lehet a gömbfelületnek térfogata, ami ráadásul koncentrálódik. A gömbnek van térfogata, nem a felületének. Itt én pongyolaságot vélek feltételezni a fogalmazásban, ami alighanem a valószínűségszámítás és a geometria fogalomrendszerének különbözőségéből adódik, de ettől még ugyanúgy nem értem.
@pont7: Na, ezt most értettem (mind a két felét). Még tán a görbéjét is meg tudnám rajzolni, hogy a random pont milyen messze esik az egyenlítőtől és azon szépen látszana, hogy mennyivel nagyobb az esély, hogy tényleg közel van.
Köszönöm szépen.
@vattablz: Én úgy próbálom érteni, hogy az egyenlítő közelébe több pont fér mint a távolabbi részekbe, ezért „nagyobb a térfogata”. Ha nem pontokban gondolkodik az ember (mert az ugye minden felületen egyenlően végtelen sok van) hanem mondjuk kicsi (pl a föld esetében méterszer méteres) területdarabokban, akkor simán kiszámolható, hogy adott szélességi körön hány ilyen darabkával lehet körberakni a földet. Az egyenlítőnél kell negyvenmillió, A ráktérítőnél még mindig kell vagy harmincöt millió, a sarkkörön már csak tizenhat millió és a sarok közvetlen közelében csak egy tucat, vagy egyetlen egy.
Az adott szélességi kör hossza a hozzá tartozó szög koszinuszával arányos.
@nyulambator: Ha tényleg jól érted, akkor megyek, és visszakérem az iskolapénzt. A világi dolgoktól elfordulok és lelki életet fogok élni.
Miért kell Azuma-Hoeffding ahhoz, hogy ha 1000-szer dobok a pénzérmével, akkor sqrt(1000)-nél nem nagyon leszek messzebb az origótól? Ez nem teljesen atombomba a verébre?
Az 1000 érmefeldobás eredménye egy 0 várható értékű és n szórásnégyzetű binomiális eloszlás. Ez után már pl. a Csebisev-egyenlőtlenségből is következik, hogy az, hogy az origótól k*sqrt(1000)-nél (k > 0) messzeb legyünk ≤ 1/k^2, és ehhez még nem kellettek olyan gyermekriogató absztrakciók, mint a martingál (nekem ott ment el a kedvem az egész valszámtól).
@vattablz:
Szerintem absztrakciók nélkül arról lehet szó, hogy
a) n-dimenziós gömb esetén már igazán ízlés dolga, hogy a felület mértékét minek nevezem. Egy dimenzióban hossznak szokás, 2-ben felületnek, 3-ban térfogatnak, afelett meg normális emberek nem szoktunk lenni, csak a matematikusok. Én mondjuk a teljes n+1-dimenziós térben lévő mértéket nevezném térfogatnak és az abban a térben lévő gömbfelületét felületnek.
b) szerintem valami olyanról van szó, hogy ha elképzelek egy gömböt (2 dimenziós gömbfelületet 3d térben), akkor egy azon a gömbfelületen véletlenszerűen választott pont az egyenlítőtől lehet d=0 … r*pi/2 távolságra (a felületen mérve, nem nyúlhatsz bele a labdába). A d és d+delta d távolsághoz tartozik két csík az egyenlítő alatt és felett, ezeknek a felülete az egyenlítőhöz közel 2 r d * delta d, a sarkoknál meg nagyon kicsi, általánosan pedig 2 cos(d/r) * delta d. Látható, hogy ez d=0 körül nagy (cos(0) = 1), d=r pi/2 körül kicsi (cos(pi/2)=0). Magasabb dimenzióban még csúcsosabb az eloszlás (=a csík területe/a teljes gömbé). És ehhez sem kell még nagyon absztraktnak lenni szerintem.
Csak nagyon laza asszociáció, de lehet, hogy a húrelmélettel foglalkozó kozmológusoknak is ünnepnap ez?
@szazharminchet: Változatlanul nem kaptam választ alapvető kérdésemre. Mit jelent az, hogy „a gömbfelület térfogata … koncentrálódik”? Miért helyes, avagy milyen fogalomrendszerben jelenti azt, amit itt fönnebb körülírtatok? Hogy tud egy homogén valami koncentrálódni? Hogyan kell érteni a felület térfogatát?
Ha már matematikát népszerűsítünk, akkor hozzáteszem, hogy ha a 3D térben lévő hagyományos gömbfelületen veszünk véletlenszerűen egy pontot (egyenletes eloszlással), és azt levetítjük az Északi sarkot a Déli sarkkal összekötő szakaszra, akkor a kapott pont olyan eloszlású lesz, mintha ezen a szakaszon vettem volna egyenletes eloszlással egy véletlen pontot. Ennek megfelelő általánosítása magasabb dimenzióban is igaz:
https://mathoverflow.net/questions/33129/intuitive-proof-that-the-first-n-2-coordinates-on-a-sphere-are-uniform-in-a
@Hottentottenstottertrottelmutterattentäter… usw:
Nem nagyon hiszem. Csak azért, mert a gömbfelületes állítás magasabb dimenziós terekre vonatkozott?
@vattablz:
1. A geometriai valószínűség az, hogy annak a valószínűsége, hogy a teljes eseménytér (a gömb összes pontja) egy adott tartományára (egy megadott pacába) esik az esemény az a paca területe osztva a teljes gömb területével. Ezért a valószínűség vagy a felület „koncentrációja” azt jelenti, hogy valahol nagy ez a valószínűség (terület), máshol meg kicsi.
Szerintem az, hogy a „gömb felülete az egyenlítő környékére koncentrálódik” azt jelenti, hogy az egyenlítőtől valamilyen távolságra lévő pontok által meghatározott terület (az egy szélességi kör környéke egy adott távolság esetén) az egyenlítőn nagy, távol meg kicsi. Három dimenzióban azt mondhatnám, hogy egy szélességi kör hossza az egyenlítő közelében nagy, a sarkok közelében kicsi.
Ha nem helyesen mondom, remélem, majd JT kijavít.
@excombo: Na tessék, megint összezavartál. Mintha ez most pont az ellenekezője lenne annak, hogy a „gömbfelületre véletlenül ledobott pont nagy valószínűséggel nagyon közel lesz az egyenlítőhöz. „
@excombo:
Nem érted te véletlenül félre ezt a stackowerflow cuccot? Nem azt mondja, hogy az egyenlítőtől mért távolságra vett vetület lesz egyenletes eloszlású a szakaszon, a sarkokat összekötő szakaszra vett vetület. De az egyenlítőtől mért távolság az nem az egyenlítő síkjától mért távolság a gömb belsejében, hanem az egyenlítőtől (körvonal) mért távolság a gömb felületén.
Na jó, egyelőre marad a lelki elmélyülés…A szellemvilág sokkal racionálisabb.
@szazharminchet: Elnézést, ha összezavartam többeket: Amit én írtam, az egy teljesen MÁS állítás, és szerintem szép. Csak úgy eszembe jutott erről a beszélgetésről. (És egy átlag középiskolás nem tudja a gömböv [vagy mi] felszínét, ami ide kell.)
@excombo:
Szerintem ha nem matekórán van, tudja. A gömböv, ha elég keskeny, egy szalag (téglalap). A területe a hossza szorozva a szélességével. Matekórán persze nem lehet olyat mondani, hogy a szélessége az arányos az egyenlítőtől vett távolság differenciálja, delta d, mert ehhez ki kellene precizírozni a „differenciál” fogalmát.
reggel véletlenül ledobtam egy pontot egy gömbfelületre (valójában persze a geoid típuspéldányáról van szó)
Akkor most közel vagyok az Egyenlítőhöz, vagy nem elég nagyon magas a dimenzióság?
@szazharminchet: Lényegében igen. Tényleg csak gondolatfoszlányok jutottak eszembe, hogy a kvantumosság kötődik valószínűségi dolgokhoz, hogy a húrelmélészeknek a jelenleg kimutathatónál sokkal több dimenzió létezését kellene igazolniuk és mi lenne, ha ez a sokdimenziós gömb pont 11 vagy 26 dimenzióban valahogy megjósolna kísérletileg ellenőrizhetó számokat.
\
Semmi konkrét és esélyes, hogy totál félreértem az egészet, de ha már eszembe jutott… és pont akkor, amikor kommentelési kényszerem van 🙂
@naki: Ha Pesten dobtad le, akkor nem vagy közel, de ha mondjuk Belgrádban, onnan már közelebb van az egyenlítő, mint az Északi-sark.
A földfelszin fele van 30°-nál közelebb az egyenlítőhöz, ami azt jelenti hogy a leejtett pontod 50% valószínűséggel legalább kétszer olyan messze van a sarkoktól mint az egyenlítőtől. A földfelszín 80%-a esik olyan területre ami közelebb van az egyenlítőhöz mint a sarkokhoz.
@szazharminchet: A Csebisev csak nagyon gyenge koncentrációt ad, csak 1/k^2 a hibavalószínűségre a korlát, miközben a valóság az \exp(-k^2/2), ami sokkal kisebb. Az Azuma-Hoeffding már ezt adja. De ettől még tényleg ágyúval verébre, mert a bolyongásra ezt de Moivre-Laplace Centrális Határeloszlás-Tételnek hívják, ami 250 évvel korábbi.
Húha. Úgy tűnik, minden Vincent követő hozzászóló matematikus (kivéve engem)?!?!? Azért maradhatok? Mentségemre: valaha azért rendes ember voltam; elemi részek kísérleti fizikája, meg ilyenek. Maradhatok? 😀 😀 😀
@Gaboxhrr: A mindenhez értés nem kizárólag a facebook-kommentelők kiváltsága.
@Mister Gumpy:
A fenti példára simán használhatod is a binomiális eloszlást, csak egyszerűbb volt a Csebisev, mint megnézni, hogy mi a felösszegzett valószínűségeloszlás.
Én amolyan kistérségi tehetség voltam matekból, kb. pont ahhoz volt elég a tehetségem, hogy fel tudjam mérni a viszonyát a valódi kaliberekhez:)
Egy megyei Arany Dániel-győzelem ugyan még összejött, de az is inkább egy kifutott eredmény volt – meg egy kiemelkedő tanár hatása is – utána pedig már belőztek a jobbak. Egyébként vidéki gyerekként két kiemelkedő matektanárom is volt – mármint ők nem csak kistérségi mércével, hanem tényleg kiemelkedőek voltak (és a gimimben volt még egy harmadik nagyágyú is, de ő nem tanított) – és a másiknak meg azt köszönhettem, hogy még az egyetemen is könnyedén vettem azokat a vizsgákat, amikkel – különösen az analízissel – nagyon sokan vért izzadtak és akár ki is buktak.
Aztán vagy 25 éve csak hobbiból és a magam szintjén, viszont tavaly olyasmi történt, ami fénykoromba’ se: megoldottam egy (régi) Kürschák-feladatot. Valószínűleg minden idők egyik legkönnyebje lehet, és arról a területről, ami mindig is viszonylag a leginkább feküdt nekem – no de a Kürschák-feladatoknál nekem mindig is az volt inkább a reális kihívás, hogy egyáltalán megértem-e a kérdést, szóval úgy örültem neki, mint egy gyerek:)